Сплайны. Сейчас широкое распространение для интерполирования получило использование специальным образом построенных многочленов третьей степени – кубических

Сейчас широкое распространение для интерполирования получило использование специальным образом построенных многочленов третьей степени – кубических сплайн-функций.

Пусть интерполируемая функция f задана своими значениями в узлах (i = 0, 1, 2, …, n). Тогда кубический сплайн на каждом отрезке [ , ] можно представить в следующем виде:

S(x) = + (x – ) + + , (16)

где , , , – четверка неизвестных коэффициентов (всего их 4n).

Таким образом, задача нахождения значения функции в каждом интервале [ ; ] сводится к вычислению значений , , , .

Длину отрезка [ , ] обозначим = – , где i = 1, 2, …, n.

Потребуем совпадения значений S(x) в узлах с табличными значениями функции f:

S( ) = = , (17)

S( ) = = + + + . (18)

6. Алгоритм вычисления , , и

1. Из условия (17) = = находим все .

2. Вычисление .

Используя выражения

; ; (19)

; , (20)

систему (18) преобразуем относительно неизвестных :

= 0, = 0, (21)

+ + = 3 . (22)

Обозначив

= ;

= ; = ; = ; = 3 ,

вместо (21)–( 22) получаем следующую систему относительно :

= 0, = 0, (23)

+ + = , (i =2, 3, …, n). (24)

Матрица системы (24) трехдиагональная, и из данной системы неизвестные = (i = 2, 3, …, n) определяются методом прогонки (смотри лабораторную работу).

3. Из выражений (19) и (20) находим , и .