Способы характеризации систем

Чтобы иметь возможность анализировать САР, необходимо произвести ее математическое описание (характеризацию). Имеется несколько способов характеризации:

1) посредством дифференциальных уравнений, описывающих изменение переменных САР во времени и пространстве;

2) посредством временных характеристик, дающих связь между переменными, заданными как функции времени;

3) посредством частотных характеристик, дающих связь между изображениями переменных по Фурье или Лапласу.

Не все из указанных способов являются наглядными, имеют простой физический смысл или удобны при решении тех или иных практических задач. Например, широко применяемое описание САР с помощью системы дифференциальных уравнений в нормальной форме весьма неудобно для представления и анализа связи между данными воздействиями и выходной переменной; в то же время такое описание весьма удобно при моделировании системы на вычислительной машине. Наоборот, описание САР посредством временных характеристик обладает наглядностью, имеет простой физический смысл, но неудобно для практических расчетов и моделирования. Таким образом, описание по п. 1, 2 имеет простой физический смысл, но неудобно для инженерных расчетов, поскольку приводит к необходимости решать дифференциальные или интегральные уравнения. Оказывается, что инженерный анализ удобно проводить с помощью частотных характеристик. Небольшие затраты труда по изучению математического аппарата преобразований Фурье и Лапласа полностью окупаются удобством описания и анализа систем, поскольку вместо интегродифференциальных уравнений надо решать только алгебраические уравнения. Поэтому далее будут рассмотрены все три способа характеризации, которые для линейных систем совершенно равноправны и полны, т. е. каждый из способов полностью характеризует; все свойства системы. Для нелинейных систем долгое время существовал только один способ описания — с помощью дифференциальных уравнений. Однако в последние годы интенсивно развиваются два других способа — с помощью временных и частотных характеристик.

Необходимо сразу заметить, что описание систем всегда получается упрощенным, поскольку нельзя учесть абсолютно все воздействия на систему и все ее свойства. С точки зрения задач управления, такое упрощение обычно оправдано. Здесь необходимо отметить, что математическое описание системы может быть аналитическим или экспериментальным, в зависимости от того, каким путем оно получено. Оба способа получения описания имеют свои достоинства и недостатки: а) аналитическое описание позволяет выявить основные закономерности и свойства ряда однотипных систем (класса систем), в то же время данную конкретную систему оно обычно характеризует с недостаточной точностью, б) экспериментальное описание обычно точнее, но зато неудобно для выявления общих закономерностей в системе.

Надо отметить, что аналитический путь описания, основанный на выявлении законов природы, которым подчиняются процессы в данном классе систем, практически всегда приводит к дифференциальным уравнениям. Экспериментальный, наоборот, дает обычно результаты в форме временных или частотных характеристик. Поскольку при характеризации сложных систем, к которым относятся практически все производственные процессы, применяют как аналитический, так и экспериментальный пути, инженеру необходимо знать все способы характеризации.

Далее будут рассмотрены только линейные системы, к которым применим принцип суперпозиции (наложения). Поясним это понятие.

Рассмотрим одномерный объект (это может быть САР или ее элемент), имеющий одно входное воздействие х(t) и одну выходную переменную у(t) (рис. 1-1,в). В общем случае связь между ними может быть записана в виде

где А — некоторый оператор (ставящий в соответствие одной функции другую функцию). Представим входное воздействие суммой произвольных составляющих

Объект называется линейным (оператор А называется линейным), если выполняются условия:

, (3-1)

где с — константа.

Выполнение (3-1) позволяет сформулировать принцип суперпозиции: если на объект (систему) действует одновременно несколько воздействий, то реакция линейного обьъекта (системы) равна сумме реакций, вызываемых каждым из воздействий в отдельности.

Системы, для которых условия типа (3-1) не выполняются, называются нелинейными.

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Далее мы будем рассматривать линейные системы с сосредоточенными параметрами, которые описываются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями.