Составление уравнений САР и их линеаризация

Объекты управления и управляющие устройства обычно являются весьма сложными динамическими системами, в которых протекают процессы, имеющие часто различную физическую природу, и на которые действуют различные физические воздействия. Понятно, что описать всю систему одним уравнением весьма сложно. Для упрощения обычно систему разбивают на отдельные элементы и дают математическое описание процессов в них и связей между ними. Уравнения элементов составляются на основе физических законов, определяющих протекание процессов в них.

Например:

а) для процессов связанных с образованием или преобразованием веществ (обычно, при химических реакциях), а также связанных с переносом веществ, применяют закон сохранения вещества, который приводит к уравнениям материального баланса;

б) для процессов, связанных с преобразованием различных видов энергии, применяют закон сохранения энергии который приводит к уравнениям энергетического баланса в частности, к уравнениям теплового баланса;

в) для процессов, связанных с механическим перемещением и взаимодействием тел, материалов, применяют законы Ньютона, в частности, уравнение Даламбера для вращающихся тел:

, (3-2)

где Ω. — угловая скорость тела;

I — момент инерции относительно оси вращения;

М_д, М_с — соответственно движущий момент и момент сопротивления;

г) для электрических и электронных схем — законы Ома и Кирхгофа:

(3-3)

где —сумма напряжений по замкнутому контуру,

(3-4)

где , — сумма токов в узле.

Надо отметить, что различные физические процессы могут описываться, как увидим далее, аналогичными уравнениями. «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений относящихся к разным областям явлений» (В. И. Ленин Соч., изд. 4, т. 14, стр. 276).

Пример 3-1. В системах регулирования температуры часто применяют термопары (ТП) (см. § 2-3). Если температура холодного спая равна нулю, то термо - э.д.с. Е пропорциональна температуре горячего спая

(3-5)

Однако измеряемая температура окружающей горячий спай среды не совпадает с температурой . При конвективном теплообмене между корпусом ТП и окружающей средой уравнение теплового баланса устанавливает, что скорость изменения температуры горячего спая ТП пропорциональна разности температур среды и горячего спая, поэтому

(3-6)

где ρ — теплоемкость корпуса ТП;

S — площадь поверхности корпуса ТП;

а — коэффициент теплоотдачи;

t — время.

Из уравнений (3-5), (3-6) получаем связь между измеряемой температурой среды и термо - э.д.с.

, (3-7)

где .

Пример 3-2. В качестве исполнительных устройств САР часто применяют двигатели (электрические, гидравлические, пневматические). Рассмотрим двигатель с

Рис. 3-1. Двигатель с линейными механическими характеристиками

линейными механическими характеристиками (рис. 3-1,а), когда движущий момент растет пропорционально управлению и и падает пропорционально скорости Ω

, (3-8)

где М₀ — пусковой момент;

Ω₀ — скорость холостого хода. По Даламберу (см. (3-2))

,

или

, (3-9)

где , ,

Таким образом, двигатель как элемент САР имеет два входных воздействия — управляющее и и возмущающее М_с (рис. 3-1,б) и одну выходную переменную — скорость Ω Однако в ряде случаев нас будет интересовать не скорость Ω, вала двигателя, а его угловое положение Θ (в следящих системах, в астатических системах с сервоприводом и др.). Поскольку , то уравнение двигателя относительно положения вала запишется с учетом (3-9) как

. (3-1)

Обратим внимание, что при М_с=0 уравнение двигателя (3-9) и уравнение термопары (3-7) аналогичны, хотя описывают процессы в различных физических системах (ТП -термоэлектрическая система; двигатель, например, электрический—электромеханическая система). Далее будет показано, что на структурных схемах и ТП, и двигатель с выходом и изображаются одним и тем же звеном — инерционным.

Полученные уравнения могут оказаться нелинейными, хотя нелинейность при малых отклонениях от номинальных значений входных воздействий обычно бывает незначительной. В таких случаях уравнения линеаризуют методом малых отклонений. Физический смысл метода, обоснованного одним из основоположников теории автоматического управления русским ученым А. М. Ляпуновым (1857—1918 состоит в том, что обычно САР работает в номинально установившемся режиме, отклонения от которого под действием возмущений достаточно малы, поскольку САР проектируется таким образом, чтобы противодействовать возмущениям. Таким образом, обычно выполняется гипотеза о малости отклонений, когда нелинейностью, если она гладкая, можно пренебречь. Математически линеаризацию полученных уравнений осуществляют с помощью разложения в ряд Тейлора, в котором пренебрегают нелинейными членами. В самом деле, пусть некоторый элемент САР описывается нелинейным дифференциальным уравнением, например,

, (3-11)

где F₁, F₂ — нелинейные функции от своих аргументов.

Допустим, что установившийся процесс в САР имеет место, когда х₁=х₁₀, х₂ = х₂₀, у=у₀. Тогда уравнение установившегося режима имеет вид

. (3-12)

Рассмотрим (3-11) при малых отклонениях Δ от установившегося режима. Разлагая по Тейлору (3-11) в ряд в точке (х₁₀, х₂₀, у₀), получаем

где , —частные производные, вычисленные в точке установившегося режима, т. е. некоторые числа;

R₁, R₂ — остаточные члены разложения, содержащие члены с приращениями высшего порядка (в них-то и заключена вся нелинейность).

Так как приращения считаются малыми, то остаточные члены R₁, R₂ содержат величины высшего порядка малости, которыми можно пренебречь. В этом случае, исключая из последнего уравнения выражение (3-12) для установившегося режима, получаем так называемые уравнения первого приближения (уравнения в «вариациях»), которые являются линейными для приращений,

, (3-13)

где , , , (n=0,1,2).

Обычно коэффициент а₀ делают равным 1, т. е. делят уравнение (3-13) на а₀. Кроме того, обозначение приращения Δ опускают при записи, понимая, что уравнение составлено для приращений.

Пример 3-3. Асинхронный двухфазный двигатель с полым или короткозамкнутым ротором, когда приведенное сопротивление ротора R_p (в величинах статорного сопротивления) соизмеримо с выходным сопротивлением R_в, источника управляющего напряжения (например, фазочувствительного усилителя ФУ, подключенного к управляющей обмотке двигателя, рис. 3-2,а), имеет механические характеристики, показанные на рис. 3-2,б, где Ω₀ — синхронная скорость (при R_p>>R_в характеристики показаны пунктиром). Как видим, механические характеристики отличаются

Рис. 3-2 Асинхронный двухфазный двигатель

от линейных, рассмотренных в примере 3-2. Разлагая гладкую нелинейную функцию М(и,Ω) в ряд по приращениям и и Ω и пренебрегая нелинейными членами, получаем линейное уравнение, аналогичное (3-8),

, (3-14)

где

, .

Интересно, что в некоторых точках механической характеристики коэффициент b₀₂ имеет разные знаки. Например, при малых отклонениях от скорости Ω₁ величина b₀₂<0, а вблизи точки Ω₂ b₀₂>0 (далее будет показано, что один режим является устойчивым, а другой неустойчивым).