Неустановившееся движение жидкости в жестких трубах

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

Неустановившееся движение жидкости в жестких трубах

Неустановившемся, или нестационарным, движением жидкости называется движение, переменное по времени. При этом движении как вектор скорости, так и давление в жидкости являются функциями не только координат точки, но и времени. Таким образом

В потоке идеальной несжимаемой жидкости выделим элемент струйки длиной dl и площадью сечения dS (рис. 1.103), Применим к массе этого элемента второй закон Ньютона, причем уравнение запишем в проекции на направление касательной к осевой линии струйки. Будем иметь

или

Частная производная от давления р использована потому, что давление, так же как и скорость υ, является функцией двух переменных – l и t, а уравнение движения записано для определенного момента времени. В правой же части уравнения записана полная производная от υ по t ,т. е. полное ускорение, которое равно сумме локального (местного) ускорения, обусловленного нестационарностью движения, и конвективного ускорения, определяемого геометрией потока, т. е.

Учитывая, что cosα = – ∂z/∂l,где z – вертикальная координата, перепишем уравнение движения в виде

Интегрируя вдоль струйки от сечения 1–1 до сечения 2–2 в тот же фиксированный момент времени, получаем

или

После деления на g и перегруппировки членов уравнения будем иметь

(1.160)

Полученное уравнение отличается от уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости лишь четвертым членом в правой части, который называется инерционным напором

(1.161)

Из уравнения (1.160) ясен физический смысл инерционного напора h_ин:это есть разность полных напоров (полных энергий жидкости, отнесенных к единице веса жидкости) в сечениях 1–1 и 2–2 в данный фиксированный момент времени, обусловленная ускорением (или торможением) потока жидкости.

Для неустановившегося потока вязкой жидкости необходимо учесть еще неравномерность распределения скоростей и потери напора, следовательно, уравнение (1.160) будет иметь вид

(1.162)

Уравнение (1.162) сходно с уравнением (1.62) Бернулли для относительного движения, в котором член ∆H_ин также называют инерционным напором. Однако величины h_ин и ∆H_ин имеют разный смысл.

Для трубы постоянного диаметра локальное ускорение а = ∂υ/∂t также постоянно вдоль трубы, следовательно, инерционный напор

(1.163)

Если трубопровод состоит из нескольких участков с сечениями разных площадей S₁, S₂ и т. д. (или трубопровод присоединен к цилиндру, в котором ускоренно движется поршень), то инерционный напор для всего трубопровода равен сумме инерционных напоров для каждого участка. При этом соответствующие ускорения определяют из уравнений, представляющих собой результат дифференцирования выражения расхода Q по времени, т. е.

В уравнение (1.55) в этом случае вместо h_ин следует подставить

Инерционный напор h_ин вводят в правую часть уравнения (1.55), причем его знак соответствует знаку ускорения а. При положительном ускорении а величина h_ин также положительна, что означает уменьшение полного напора вдоль потока аналогично уменьшению его вследствие гидравлических сопротивлений. Однако инерционный напор нельзя рассматривать как безвозвратно потерянный. При отрицательном ускорении (торможении потока) величина а отрицательная, а это значит, что торможение потока способствует возрастанию полного напора жидкости вдоль потока, т. е. его действие противоположно действию гидравлических сопротивлений. Все сказанное относится лишь к определенному моменту времени или к равноускоренному движению жидкости (а = const). При переменной величине а характер распределения напоров вдоль потока изменяется с течением времени.

В виде примера на рис. 1.104, а показана труба постоянного сечения, соединяющая два резервуара. Внутри трубы находится поршень, который движется справа налево со скоростью υи с положительным ускорением а. С таким же ускоренней движется жидкость в трубе. Для каждого из участков трубы – всасывающего (до поршня) и напорного (за поршнем) – на рисунке показаны линии изменения полного напора (Н – H), пьезометрических высот (р – р), а также потерь напора ∑h_п и инерционного напора h_ин в некоторый определенный момент времени. Из рисунка видно, что инерционный напор при неустановившемся течении способствует снижению давления и даже возникновению вакуума за поршнем и вызывает более значительное повышение давления перед поршнем по сравнению с установившимся движением.

На рис. 1.104, б показаны те же линии при отрицательном ускорении а того же поршня при той же скорости, направленной справа налево. В этом случае инерционный напор компенсирует потери напора, и гидравлический уклон изменяет знак на обратный.

Рис. 1.104. Построение пьезометрических линий и линий полного напора

Гидравлические потери при неустановившемся движении в общем случае отличны от потерь при установившейся движении. Это связано с видоизменением профиля скоростей по сечению трубы. Так, при ускоренном движении жидкости профиль делается более полным (коэффициент α уменьшается), а при замедленном – более вытянутым (α увеличивается). На рис. 1.105 показано изменение распределения скоростей по сечению трубы при ускоренном ламинарном движении жидкости при трех значениях расхода (рис. 1.105, а – при равномерном движении, рис. 1.105, б – при ускоренном). Как видно из рисунка, в отдельных случаях вблизи стенки трубы возникают даже противотоки.

В частном случае ламинарного течения с гармоническим изменением расхода по времени в закон Пуазейля (1.82), записанный для данного момента времени, надо ввести поправочный коэффициент и, который, по исследованиям Д. Н. Попова, является функцией безразмерной частоты

где ω – угловая частота колебаний жидкости с вязкостью v в трубе диаметром d.

Безразмерная частота определенным образом связана с основными критериями подобия для данного случая – с числами Рейнольдса и Струхаля. Поправочный коэффициент א можно найти по формуле Д. Н. Попова

При увеличении частоты возрастание гидравлических потерь может быть весьма значительным, причем различие между потерями при ламинарном и турбулентном режимах уменьшается.