Гидравлический удар

Гидравлическим ударом называют резкое повышение давления, возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока жидкости. Точнее говоря, гидравлический удар представляет собой колебательный процесс, возникающий в упругом трубопроводе с капельной жидкостью при внезапном изменении ее скорости. Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления. Изменение давления при этом тесно связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода.

Гидравлический удар чаще всего возникает при быстром закрытии или открытии крана или иного устройства управления потоком. Однако могут быть и другие причины его возникновения.

Теоретическое и экспериментальное исследование гидравлического удара в трубах было впервые выполнено Н. Е. Жуковским* и опубликовано в его фундаментальной работе «О гидравлическом ударе», вышедшей в свет в 1898 г.

Пусть в конце трубы, по которой жидкость движется со скоростью υ₀, произведено мгновенное закрытие крана (рис. 1.106, а). Тогда скорость частиц жидкости, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается* в соответствии с повышением давления ∆р_уд. На заторможенные частицы у крана набегают другие, соседние с ними частицы и тоже теряют скорость, в результате чего сечение п – п перемещается вправо со скоростью с, называемой скоростью ударной волны; сама же переходная область, в которой давление изменяется на величину ∆р_уд называется ударной волной.

Когда ударная волна переместится до резервуара, жидкость окажется остановленной и сжатой во всей трубе, а стенки трубы – растянутыми. Ударное повышение давления ∆р_уд распространится на всю трубу (рис. 1.106, б).

Но такое состояние не является равновесный. Под действием перепада давления ∆р_уд частицы жидкости устремятся из трубы в резервуар, причем это движение начнется с сечения, непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение п – п перемещается в обратном направлении – к крану – с той же скоростью с, оставляя за собой выровненное давление p₀ (рис. 1.106, в).

Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими, поэтому они возвращаются к прежнему состоянию, соответствующему давлению р₀. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость υ₀, но направленную теперь в противоположную сторону.

С этой скоростью «жидкая колонна» (рис. 1.106, г) стремится оторваться от крана, в результате возникает отрицательная ударная волна под давлением р₀ – ∆р_уд, которая направляется от крана к резервуару со скоростью с, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость, что обусловлено снижением давления (рис. 1.106, д). Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного знака.

Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волны к резервуару показано на рис. 1.106, е. Так же как и для случая, изображенного на рис. 1,106, б, оно не является равновесным. На рис. 1.106, ж показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре, сопровождающейся возникновением движения жидкости со скоростью υ₀.

Очевидно, что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением ∆р_уд достигнет крана, возникнет ситуация, уже имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится.

В опытах Н. Е. Жуковского было зарегистрировано до 12 полных циклов с постепенным уменьшением ∆р_уд из-за трения в трубе и рассеивания энергии в резервуаре.

Протекание гидравлического удара во времени иллюстрируется диаграммой, представленной на рис. 1.107, а и б.

Диаграмма, показанная штриховыми линиями на рис. 1.107, а, характеризует теоретическое изменение давления р_изб в точке А (см, рис. 1.106) непосредственно у крана (закрытие крана предполагается мгновенным). Сплошными линиями дан примерный вид действительной картины изменения давления по времени. В действительности давление нарастает (а также падает) хотя и круто, но не мгновенно. Кроме того, имеет место затухание колебаний давления, т. е, уменьшение его амплитудных значений из-за трения и ухода энергии в резервуар.

Описанная картина изменения давления может возникнуть лишь в том случае, когда имеется достаточный запас давления р₀, т. е. когда р₀ > ∆р_уд и при снижении давления на ∆р_уд оно остается положительным. Если же давление р₀невелико (что бывает очень часто), то первоначальное повышение давления при ударе будет примерно таким же, как и в предыдущем случае. Однако снижение давления на ∆р_уд невозможно; абсолютное давление у крана падает практически до нуля (р_изб ≈ 0,1 МПа), «жидкая колонна» отрывается от крана, возникает кавитация и образуется паровая каверна. В связи с этим нарушается периодичность процесса, и характер изменения давления по времени получается примерно таким, как показано на рис. 1.107, б.

Повышение давления ∆р_уд легко связать со скоростями υ₀ и с, если рассмотреть элементарное перемещение ударной волны dx за время dt и применить к элементу трубы dх теорему об изменении количества движения. При этом получим (рис. 1,108)

Отсюда скорость распространения ударной волны

откуда

(1.164)

Полученное выражение носит название формулы Жуковского.

Но пока неизвестна скорость с, поэтому ударное давление ∆р_уд найдем другим путем, а именно из условия, что кинетическая энергия жидкости переходит в работу деформации: растяжения стенок трубы и сжатия жидкости. Кинетическая энергии жидкости в трубе радиусом r

Работа деформации равна потенциальной энергии деформированного тела и составляет половину произведения силы на удлинение.

Выражая работу деформации стенок трубы как работу сил давленая на пути ∆r (рис. 1,109, а), получаем

По закону Гука

(1.165)

где σ –нормальное напряженно в материале стенки трубы, которое связано с давлением ∆р_уд и толщиной стенки δ отношением

(1.166)

Выразив ∆r из уравнения (1.165), а σ из уравнения (1.166), получим работу деформации стенок трубы

Работу сжатия жидкости объемом V можно представить как работу сил давления па пути ∆l (рис. 1.109, б), т. е.

Аналогично закону Гука для линейного удлинения относительное уменьшение объема жидкости ∆V/V связано с давлением зависимостью

где К – среднее для данного ∆р_уд значение адиабатного модуля упругости жидкости (см. п, 1,3).

Приняв за V объем жидкости в трубе, получим выражение работы сжатия жидкости

Таким образом, уравнение энергий примет вид

Решая ого относительно ∆р_уд, получим формулу Жуковского

(1.167)

Таким образом, скорость распространения ударной волны

(1.168)

Если предположить, что труба имеет абсолютно жесткие стенки, т. е. Е = ∞, то от последнего выражения останется лишь , т, е, скорость звука в однородной упругой среде с плотностью ρ и объемным модулем К [см. формулу (1.10)], Для воды эта скорость равна 1435 м/с, для бензина 1116 м/с, для масла 1200 – 1400 м/с. Так как в рассматриваемом случае стенки трубы не абсолютно жесткие, то величина с представляет собой скорость распространения ударной волны в упругой жидкости, заполняющей упругий трубопровод. Эта скорость несколько меньше скорости звука.

Когда уменьшение скорости в трубе происходит не до нуля, а до значения υ₁, возникает неполный гидравлический удар и формула Жуковского приобретает вид:

Формулы Жуковского справедливы при очень быстром закрытии крана или, точнее говоря, когда время закрытия

где t₀ – фаза гидравлического удара.

При этом условии имеет место прямой гидравлический удар.

При t_зак > t₀ возникает непрямой гидравлический удар, при котором ударная волна, отразившись от резервуара, возвращается в крану раньше, чем он будет полностью закрыт. Очевидно, что повышение давления ∆р’_уд при этом будет меньше, чем ∆р_уд при прямом ударе.

Если предположить, что скорость потока при закрытии крана уменьшается, а давление возрастает линейно по времени, то можно записать (рис. 1.110)

откуда

(1.169)

В тупиковом трубопроводе ударное давление может увеличиться в 2 раза (под ударным давлением здесь понимается резкое повышение давления в трубопроводе, обусловленное внезапным подключением его к источнику высокого давления). Поясним это схемой (рис, 1.111, а)и следующими рассуждениями. Пусть трубопровод с начальным давлением p₀ отделен краном от сосуда большого объема (или насоса) с высоким давлением p₁. При мгновенном открытии крана давление в начале трубопровода внезапно возрастает на . Возникшая волна давления со скоростью с перемещается к концу трубопровода. Давление за ее фронтом отличается от давления перед фронтом на ∆р_уд, а скорость жидкости в плоскости фронта возрастает от нуля до υ₀, определяемой формулой (1.164):

(1.170)

В момент подхода фронта волны к тупиковому концу давление жидкости во всем трубопроводе увеличивается на ∆р_уд и жидкость приобретает скорость υ₀. Поскольку дальнейшее движение жидкости невозможно, скорость столба жидкости полностью гасится, дополнительно увеличивая, в свою очередь, давление на .

Таким образом, в трубопроводе возникает новая (отраженная) волна давления, направленная к крану (задвижке), за фронтом которой давление по сравнению с первоначальным возросло на 2∆р_уд, а скорость жидкости υ = 0 (рис. 1.111, б).

Формулы (1.164) и (1.168) получены при использовании ряда упрощающих допущений: справедливость закона Гука при деформации трубы и жидкости, отсутствие трения в жидкости я других видов рассеивания энергии в процессе удара и равномерность распределения скоростей по сечению трубы.

Экспериментальные исследования гидравлического удара показывают, что если жидкость не содержит воздушных примесей и начальное давление р₀не велико, то, несмотря па перечисленные допущения, формула Жуковского достаточно хорошо подтверждается опытом. Неравномерность распределения скоростей, а следовательно, и режим течения в трубе (ламинарное ели турбулентное), казалось бы, должны влиять на величину ∆р_уд, так как от этого зависит кинетическая энергия потока. Однако это влияние практически отсутствует. Объясняется это тем, что при внезапном торможении потока происходят интенсивный сдвиг слоев жидкости и большая потеря энергии на внутреннее трение, которая примерно компенсирует избыток кинетической энергии за счет неравномерности скоростей.

При высоких начальных давлениях р₀ и больших ∆р_уд последние получаются несколько большими, чем по формуле Жуковского, вследствие возрастания модуля К, т. е. нарушения линейности изменения деформации по давлению.

Способы предотвращения и смягчения гидравлического удара выбирают для каждого конкретного случая. Наиболее эффективным методом снижения ∆р_уд является устранение возможности прямого гидравлического удара, что при заданном трубопроводе сводится к увеличению времени срабатывания кранов и других устройств. Аналогичный эффект достигается установкой перед этими устройствами компенсаторов в виде достаточных местных объемов жидкости, гидроаккумуляторов или предохранительных клапанов. Уменьшение скорости движения жидкости в трубопроводах (увеличение диаметра труб при заданном расходе) и уменьшение длины трубопроводов (для получения непрямого удара) также способствуют снижению ударного давления. Иногда вместо всех перечисленных способов уменьшения ∆р_удпредпочитают простое повышение прочности слабых звеньев системы.

Представляет интерес сопоставление ударного давления ∆р_уд с инерционным (см. п. 1.47).

Если рассматривать непрямой удар и предположить, что скорость жидкости υ₀уменьшается при закрытии крана по линейному закону в функции времени t, то в формуле (1.169) отношение υ₀/t_зак можно заменить ускорениям а = dυ/dt. Тогда эта формула примет вид или

Таким образом, ударный напор (или давление) при непрямом гидроударе в 2 раза больше инерционного напора. Следовательно, если требуется рассчитать трубу на прочность, то расчет следует вести не по инерционному, а по ударному давлению.

На рис. 1.112дан график сравнения ударного ∆р_уд (сплошная линия) и инерционного р_ин(штриховая линия) давлений в зависимости от времени закрытия крана. Первое построено по формуле (1.169) при t_зак > t₀, а при t_зак < t₀ в соответствии с (1.164) принято постоянным; второе определенно по формуле (1.163) с заменой a = υ₀/t_зак и р_ин = ρgh_ин.

Как видно из графика, построенного при υ₀= const, при t_эак = t₀/2, ∆р_уд = р_ин. Однако при t_зак < t₀ инерционное давление является нереальным; при t_зак > t₀ инерционное давление можно рассматривать как осредненное по времени давление при гидравлическом ударе.

Задача. Насос, оборудованный воздушным колпаком, перекачивает бензин по трубопроводу длиной l = 5 км, диаметром d = 75 мм, δ = 5 мм в количестве Q = 9·10^-3 м³/с. Плотность бензина ρ = 740 кг/м³, модуль упругости бензина К = 1,1·10⁹ Па, Е = 2·10¹¹ Па. Определить, за какое время необходимо перекрыть задвижку, чтобы ударное повышение давления не превосходило 1 МПа.

Решение. Скорость движения бензина

Скорость распространения волны гидравлического удара

Можно отметить, что деформация трубопровода снижает скорость распространения ударной волны примерно на 4 %.

Если бы гидравлический удар был прямым, то повышение давления равнялось бы ∆р = ρсυ = 740·1,17·10³·2,04 = 1,77 МПа, что превышает допустимую величину 1 МПа. Следовательно, гидравлический удар должен быть непрямым. Фаза гидравлического удара, т.е. время пробе­га волны от задвижки до воздушного колпака и обратно:

Необходимое время закрытия задвижки:

* Н. Е. Жуковский (1847 – 1921 гг.) – великий русский ученый, один из основоположников современной гидроаэромеханики, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации». Еще до того, как Жуковский начал заниматься вопросами авиации, он опубликовал ряд фундаментальных работ в области гидравлики и занимался гидравлическими задачами на протяжении всей своей жизни.

* Пренебрегать сжимаемостью жидкости, как это обычно допускается в задачах гидравлики, в данном случае нельзя, так как малая сжимаемость жидкости и является причиной возникновения большого, но конечного ударного давления.