Уравнение плоской волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение y колеблющейся точки, как функцию её координат и времени

. (1.1)

Функция y должна быть периодической как относительно времени, так и координат. Пусть колебания носят гармонический характер.
Для упрощения ось Х совпадает с направлением распространения волны. Волновые поверхности будут перпендикулярны оси Х.

Так как все точки волновой поверхности колеблются в одинаковой фазе, то смещение y будет зависеть от х и t:

. (1.2)

Рис. 1.2. – плоскость, соответствующая произвольному значению, ; где – скорость распространения волны, – время

, (1.3)

где А – амплитуда колебания, то есть максимальное отклонение точек от положения равновесия; – фаза колебания – это физическая величина, которая вместе с амплитудой позволяет рассчитать смещение y в момент времени t.

Для прохождения волной пути от плоскости Х = 0 до плоскости Х требуется время:

, (1.4)

где u – скорость распространения волны или фазовая скорость волны;
х – расстояние, которое пройдет волна за время t.

Колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости Х = 0. Поэтому смещение частиц будет иметь вид:

или y(x, t) = A cos w(t – ), (1.5)

где – смещение любой из точек с координатой х в момент времени t; А – амплитуда, не меняющая значения со временем. Это возможно в среде, не поглощающей энергию волны.

Формула (1.5) – уравнение плоской волны. Это уравнение можно записать через волновое число , которое равно:

, (1.6)

где – длина волны, равная отношению скорости распространения волны V к частоте n.

, (1.7)

Частота n связана с циклической частотой соотношением:

, (1.8)

где – число колебаний за с, а n – число колебаний за 1 с.

Выражения (1.6)–(1.8) показывают, что волновое число связано с циклической частотой соотношением:

. (1.9)

Уравнение плоской волны (1.5) можно записать через волновое число :

или . (1.10)

Реальные волны характеризуются групповой скоростью , и она совпадает с фазовой, если волны всех частот имеют одинаковую фазовую скорость V.