Изопроцессы идеального газа

Термодинамические процессы, в которых изменение состояния газа происходит, когда один из параметров сохраняется постоянным, а два оставшихся изменяются, носят общее название изопрцессов.

1) Изотермический процесс – процесс, когда изменение состояния газа происходит при постоянной температуре. (T = const).

Такой закон описывается законом Бойля и Мариотта, установленном на основе экспериментов. При изотермическом процессе произведение давления на объем для данной массы газа (m = const) есть величина постоянная:

. (1.7)

2) Изобарический процесс – процесс, когда изменение состояния газа происходит при постоянном давлении (P=const).

Обозначим объем некоторой массы газа при 0^○С через V_O . При изобарическом нагревании его на t^○ его объем возрастет и сделается равным V_t. Такой процесс описывается законом Гей-Люссака, который также был установлен опытным путем: при изобарическом процессе относительное увеличение объема данной массы газа (m = const) прямо пропорционально увеличению температуры, при постоянном давлении
(P = const).

, (1.8)

где a – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом объемного расширения.

Коэффициент a численно равен относительному увеличению объема газа (по отношению к объему, измеренному при 0 ^○С) при нагревании его на 1 градус. Как показали опыты, этот коэффициент для всех газов одинаков и равен 1/273 град^-1 .

Следовательно,

или . (1.9)

График зависимости объема газа V от температуры t является прямой линией (рис 1.2).

3) Изохорический процесс – процесс, когда изменение состояния газа происходит при постоянном объеме (V = const).

Если давление некоторой массы газа при температуре 0^○С будет P₀, то при изохорическом нагревании газа на t ^○С давление возрастает и становится равным P_t. Изохорический процесс описывается опытным законом Шарля: при изохорическом процессе относительное увеличение давления данной массы газа (m = const) прямо пропорционально увеличению температуры при постоянном объеме (V = const).

, (1.10)

где g – коэффициент пропорциональности, называемый температурным коэффициентом давления и численно равный относительному увеличению давления газа (по отношению к давлению газа взятому при 0 ^○С) при нагревании газа на 1 градус. Эксперименты показали, что этот коэффициент для всех газов одинаков и равен 1/273 град^-1, следовательно,

или . (1.11)

График зависимости давления газа P от температуры t изображается в виде прямой линии (рис 1.3). Из рисунка видно, что продолжить эту прямую в область отрицательных температур (по Цельсию) до пересечения ее с осью Х (точка О₁), то можно получить уравнение:

, откуда t = -273 ^○C.

Давление газа на стенки сосуда является следствием ударов молекул
об эти стенки, т. е. связано с передачей импульсов стенкам сосуда при ударах молекул. Приведенный выше результат означает, что при t = -273 ^○C прекращается поступательное движение молекул. Поэтому температура t=-273 ^OC носит название абсолютного нуля температуры.

Рис. 1.3. График изохорного процесса

Температура, отсчитанная от абсолютного нуля, именуется абсолютной температурой (температурой по Кельвину) и обозначается буквой Т.

Точка плавления льда при нормальном атмосферном давлении оказалась равной 273,15 ^○К, а по шкале Цельсия она принята за 0 ^○С, поэтому абсолютная температура Т связана с температурой t (по шкале Цельсия) следующим соотношением T = 273,15+t , для приближенных подсчетов можно считать, что T = 273+t

Преобразуем выражение (1.9), характеризующее изобарический процесс, заменяя температуру, отсчитанную по шкале Цельсия, абсолютной температурой.

.

Обозначим объем газа при температуре Т₁ через V₁, а при температуре Т₂, через V₂. Напишем ; Поделив почленно равенства, получим:

. (1.12)

При изобарическом процессе объем некоторой массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре.

Аналогично можно прийти к выводу, что при изохорическом процессе давление некоторой массы газа прямо пропорционально его абсолютной тем­пературе. Так формируется принцип Шарля.

. (1.13)

1.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеальных газов

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку (рис. 1.4) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс , где – масса молекулы, – ее скорость. За время площадки достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием и высотой (рис. 1.4). Число этих молекул равно ( – концентрация молекул).

Рис. 1.4

.

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

. (1.14)

Если газ в объеме содержит молекул, движущихся со скоростями то целесообразно рассматриватьсреднюю квадратную скорость

, (1.15)

характеризующую всю совокупность молекул газа.

Уравнение (1.14) с учетом (1.2) примет вид

. (1.16)

Выражение (1.16) называетсяосновным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Учитывая, что , получим

. (1.17)

Так как масса газа , то уравнение (1.17) можно переписать в виде

.

Для одного моля газа ( — молярная масса), поэтому

,

где – молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, . Таким образом,

,

откуда

, (1.18)

Так как , где — масса одной молекулы, a — постоянная Авогадро, то из уравнения (1.18) следует, что

, (1.19)

где k=R/N_А – постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода – 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.

1.5. Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа
по скоростям и энергиям теплового движения

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией , называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные , то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул , имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до , т. е.

.

Применяя методы теории вероятностей. Максвелл нашел функцию — закон о распределения молекул идеального газа по скоростям:

. (1.20)

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее вероятной скорости можно найти продифференцировав выражение (1.20) (постоянные множители опускаем) по аргументу , приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения :

Значения = 0 и = ¥ соответствуют минимумам выражения (1.20),
а значение , при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость :

(1.21)

Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

.

Подставляя сюда и интегрируя, получаем

. (1.22)

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная ; 2) средняя ; 3) средняя квадратичная .