![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Выше мы рассматривали игры, в которых игроки не имели права вступать в соглашения, образовывать коалиции. Рассмотрим теперь так называемые кооперативные игры, в которых игроки могут вступать в соглашения, образовывать коалиции. Такие ситуации могут возникать особенно часто, если рассматриваются игры Как отмечалось выше, равновесие является важнейшим принципом оптимальности в бескоалиционных играх, в которых не рассматривается образование коалиций. Коалиция является формой кооперации, направленной на увеличение персональных возможностей игроков, то есть на увеличение их выигрышей. В матричной игре кооперация игроков лишена смысла, так как в такой игре улучшение положения одного из них приводит к ухудшению положения другого. Ситуация меняется при перехожее от матричной игры к биматричной, так как в биматричных играх кооперация может улучшить положение их обоих. В биматричной игре имеется лишь одна нетривиальная коалиция (коалиция, состоящая более, чем из одного игрока) - коалиция обоих игроков. Для пояснения отличий между индивидуальным выбором решений обоими игроками и совместным принятием решения коалицией этих игроков, рассмотрим следующий пример.
№ 3.4.(Конкурс на реализацию проекта). Две фирмы участвуют в конкурсе на реализацию проекта, причем доход от реализации проекта составит 10 у.е. Каждая фирма может либо подать простую заявку на участие в конкурсе (затраты равны 1 у.е.), либо представить программу реализации проекта (затраты составят 3 у.е.). По условиям конкурса, если обе фирмы выбирают одинаковый способ подачи заявки, то заказ (и доход) на реализацию проекта делится между ними пополам. Если же фирмы выбирают различные способы действий, то предпочтение отдается фирме, которая представит программу. Требуется разрешить эту конфликтную ситуацию. Решение. Представим описанную конфликтную ситуацию в виде биматричной игры. Игроками Количественно выигрыши игроков можно выразить следующим образом:
Решив эту игру, найдем единственную равновесную ситуацию Ни одному из этих игроков невыгодно отклоняться от этой стратегии, так как это может только уменьшить его выигрыш. Но если игроки одновременно отклоняются от оптимальной (равновесной по Нэшу) стратегии, то возникает ситуация Рассмотренный пример демонстрирует важную особенность биматричных игр – возможность наличия противоречия между выгодностью и устойчивостью (положением равновесия). Действительно, ситуация При исследовании кооперативного аспекта в теории игр внимание обращается, как правило, не на ситуации игры, а на ее исходы. В соответствии с этим в основе оптимальности лежит идея выгодности. Проанализируем, как может реализовываться идея выгодности в рамках неантагонистической игры двух лиц. Пусть Так в рамках № 4, игроки, объединившись в коалицию, предпочтут исход В общем случае для биматричной игры рассмотрение вопроса об ее оптимальности с точки зрения коалиции удобно представить в геометрической форме. На координатной плоскости
Рис. 3.5.
Так как коалиция может выбирать любой из представленных девяти исходов, то фактически получается задача двухкритериальной оптимизации, где первый игрок стремится максимизировать критерий На первом этапе игроки выступают как союзники, так как этот шаг выгоден обоим из них. Однако на втором этапе, при сравнении любых двух парето-оптимальных решений, игроки из союзников превращаются в противников: так как увеличение выигрыша одного из них влечет за собой уменьшение выигрыша другого. Для решения задачи нахождения оптимального исхода в кооперативной игре сделаем еще одно допущение: допустимо использование не только чистых, но и смешанных стратегий. Это приводит к тому, что вместе с двумя чистыми исходами
где
Рис. 3.6.
Задача нахождения кооперативного решения биматричной игры сводится теперь к построению правила, которое для каждого такого многоугольника исходов указывает единственный оптимальный исход, принадлежащий его «северо-восточной» границе. Рассмотрим решение этой задачи, известное как арбитражное решение Неша. Арбитражное решение представляет собой некую систему требований (аксиом), с помощью которых для любой игры выделяется ее единственное решение – оптимальный исход этой игры. Пусть
достигает своего наибольшего значения в той части области
В качестве иллюстрации решения кооперативной игры рассмотрим следующую задачу.
№ 3.5.(Оптимальное распределение прибыли). Имеются две фирмы: первая может произвести одно из двух изделий
Таблица 3.1
Считая, что фирмы заключают между собой соглашение, определить справедливое распределение прибыли, используя арбитражное решение Нэша. Решение. Построим в декартовой системе координат многоугольник игры, приведенные в табл. 3.1:
Выделим в этом многоугольнике множество Парето-оптимальных решений (северо-восточную границу). Вычислим цены игры для матричных игр:
а именно,
Введем новую систему координат
Чтобы определить координаты оптимальной точки
при условии, что
Построим функцию Лагранжа:
Вычислив частные производные первого порядка и приравняв их к нулю, получим следующую систему уравнений:
решение которой имеет вид:
Перейдя к старым координатам, получим:
Для определения оптимальной смешанной стратегии в этой кооперативной игре, реализующей полученный результат, надо смешать ситуации
Решив последнее уравнение, получим:
Следовательно, для получения «справедливой» доли фирмы должны воспроизводить ситуацию
|