Аналіз напруженого стану при одновісьовому розтязі. Максимальні дотичні напруження.

Лінійний напружений стан має місце в точках стержня , який розтягують або стискують поздовжньою силою. Розглянемо стержень призматичної фор­ми з площею поперечного перерізу А, навантажений - зосередженими роз­тягуючими силами F /рис. 4/. На достатній відстані від місця при­кладання сили /відповідно до принципу Сен-Венана /виберемо точку В і проведемо через цю точку поперечний переріз. Нормальна напруга в будь-якій точці цього перерізу,в тому числі і в точці В, визначається за отриманою раніше формулою

, (11)

Рис. 4. До визначення напруги в точці В при лінійному напруженому стані.

Рис. 5. Зображення лінійного напруженого стану : а – в просторі, б – на площині.

Оскільки при розтягу стерж­ня його напружений стан одно­рідний, то для дослідження на­пруження на різних похилих площад­ках уявно вирізаний паралеле­піпед може бути довільних роз­мірів, в тому числі і такий, що мав за грань поперечний переріз стержня А₀. На верхній і ниж­ній гранях паралелепіпеда па­ралельних площині А₀ , діють розтягуючі напруги, які визна­чаються формулою /11/. На всіх бічних гранях нормальні напру­ги відсутні, тому що відсутні діючі сили. Дотичні напруження на всіх гранях дорівнюють нулю, оскільки розтягуючі сили F не утворюють зсуву виділених граней паралелепіпеда.

Оскільки на гранях паралелепіпеда відсутні дотичні напруги, то нормальні напруження тут будуть головними, і відповідно до формули /11/ дістанемо σ₁ = у = F/A₀, σ₂ = 0, σ₃ = 0 тобто кожна точка виділеного паралелепіпеда перебуває в лінійному напруженому ста­ні /рис.5 а/. Надалі елемент, що перебуває в лінійному або плоскому напруженому стані, будемо зображати перерізом паралелепіпеда у вигляді плоскої фігури /рис.5,б/.

У такий спосіб зображення лінійного і плоского напруже­них станів можна ввести більш просте правило знаків для до­тичних напружень, не пов’язане з вибором системи координат: дотичні напруження на площині додатні, якщо вони намагають­ся повернути розглядуваний елемент відносно довільної точки, взятої всередині елемента за ходом годинникової стрілки, і від’ємні – якщо проти годинникової стрілки.

Розглянемо як розподілені напруження на площині похилого перерізу. Для цього проведемо площину, нормаль n_б, до якої віссю х паралелепіпеда утворює кут α /рис. 6/ На похилій площині Аα повну напругу Рα , зумовлену силами F , можна визначати за формулою:

(12)

Оскільки площи­на (12) зв'язана з А₀ співвідношенням , то: (13)

Рис. 6. Визначення напружень σ_α,τ _α при лінійному напруженому стані.

де враховано, що F/A₀ = σ_1. Проекція повної напруги на нормаль n_α утворює нормальне напруження , або :

(14)

Користуючись рівнянням /14/, можна простежити за зміною зна­чень нормального напруження на площадках, що мають різний нахил. Так, із збільшенням кута від 0 до 90° напруження σ зменшується від значення при α = 0 до нуля при α = 90°.

Отже, най­більше значення нормального напруження маємо на головній площадці, де (при α=0).

Проекція напружень на площадку утворює на ній дотичну напруження , яку можна визначити за формулою , або:

(15)

Відповідно до формули (15) найбільшу дотичне напруження виникає на площадці з sin 2α = 1, тобто для якої 2α = 90° і α = 45°. Значить, на площадці, нормаль до якої з напрямом поздовжньої осі х утворює кут 45°, дотичні напруження досягають найбільших значень

/16/

При стиску головні напруження мають значення σ₁ = σ₂ = 0; σ₃ = -F /A₀. Тоді напружений стан у точці стержня визначається, як і при розтягу, лише в них замість σ₁ не­обхідно підставляти σ₃.

Приклад 1. Визначити нормальні і дотичні напруги в точці В перерізу 1-1 і в точці С перерізу 2-2 стержня, якщо його площа поперечного перерізу А_о = 20 • 10^{-4 м2}, α₁ = 30⁰, α₂ = 40°. Стер­жень навантажений зовнішніми силами F₁ = 40 кН і F₂ = 72 кН так, як показано на рис.2.6,а.

Розв'язання. Перш за все розбиваємо стержень на ділянки і, вико­ристовуючи метод перерізів, визначимо значення поздовжніх сил N₁, N₂ на кожній із них: N_{1 =} F₁ - F₂ = 40 – 72 = - 32 кН /стиск/. Побудуємо епюру нормальних сил /рис 7,б/.

Знайдемо нормальну напругу в поперечному перерізі, що проходить через точку В:

Зазначимо, що оскільки на даній ділянці виділений елемент підлягає стиску, то в точці В маємо напругу σ_{х =} σ₃ .

Аналогічно напруга в поперечному перерізі, що проходить через точ­ку С, буде

Елементи, виділені на ділянках точок В і С, головні напруги σ₃ і σ₁ , а також похилі площини та невідомі поки напруження на них, показані на рис.2.7, 2.8. Визна­чимо нормальні і дотичні напруження на похи­лій площині, утвореній перері­зом 1-1.

Рис. 7. Епюра нормальної сили N в стержні навантаженому силами F₁ і F₂

Рис.8. Схема до визначання напружень і в точці В стержня , зображеного на рис.7

Рис. 9. Схема до визначення напруг та в точці С стержня, зображеного на рис.7.

Відносно напряму осі х /або / нормаль n_{α ,} утворює кут α₁ , який відраховується за годинниковою стрілкою. Тому, підставляючи кут α₁ в формули /14/ і /15/, його необхідно брати із знаком "мінус". Тоді за формулами /14/ і /15/

Аналогічно, враховуючи знак кута α₂ , визначаємо напруження на похилій площині, яка утворена перерізом 2-2:

Питання для самоконтролю

1. Дати визначення лінійного, плоского і об'ємного напружених станів. Навести приклади.

2. Які правила знаків вводяться для нормальних і дотичних напруг?

3. Доведіть, що сума нормальних напруг на двох довільних взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через дану точку навантаже­ного тіла, величина стала.

4. Що таке головні площини і головні напруги?