Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Метод гармонической линеаризации нелинейных САУ. Критерий устойчивости Попова нелинейных САУ.




Читайте также:
  1. Amp; Методичні вказівки
  2. Amp; Методичні вказівки
  3. Amp; Методичні вказівки
  4. Amp; Методичні вказівки
  5. Amp; Методичні вказівки
  6. Amp; Методичні вказівки
  7. Amp; Методичні вказівки
  8. B. Искусственная вентиляция легких. Методики проведения искусственной вентиляции легких
  9. Cтруктуры внешней памяти, методы организации индексов
  10. FDDI. Архитектура сети, метод доступа, стек протоколов.

 

Понятие нелинейной системы (см. вопрос 9).

 

Достоинства и недостатки метода фазовой траектории.

Достоинства:

1) НСАУ заменяют на линейную путем кусочно-линейной аппроксимации и разделением режимов работы;

2) Наглядно показывает поведение замкнутых и разомкнутых систем;

3) Наглядно иллюстрирует устойчивость НСАУ.

Недостатки

1) большой объем вычислительной работы;

2) для определения устойчивости необходимо выполнить построение фазовых траекторий для различных начальных условий.

 

Суть метода гармонической линеаризации. Линейная часть как фильтр высших частот.

В большинстве САУ линейная часть представляет собой фильтр высших частот. Например, для системы имеющей два апериодических звена:

Видно, что сигнал x1, имеющий достаточно много высших гармоник при прохождении через линейную часть постепенно «сглаживается» (x2, x3). И на выходе системы сигнал практически не отличается от синусоиды, которая подается на вход нелинейного элемента.

Суть метода гармонической линеаризации заключается в представлении нелинейного элемента как линейного усилительного звена, на выходе которого присутствует синусоидальный сигнал. Коэффициент усиления линеаризованного нелинейного элемента будет зависеть от амплитуды входного сигнала.

 

Преобразование Фурье.

Пусть на вход НЭ с функциональной зависимостью y=f(x) поступает синусоидальный сигнал x(t)=A×sin(ωt). Выходной сигнал y можно разложить в ряд Фурье, причем имеет смысл только первая гармоника:

y(t)=A0+A11×A×sin(ωt)+A12×A×sin(ωt)+высшие гармоники,

где A0, A11, A12 – коэффициенты ряда Фурье:

,

,

.

Так как НЭ имеет нелинейную функциональную зависимость, то очевидно коэффициенты ряда Фурье будут зависеть от амплитуды A входного сигнала. Тогда выходной сигнал можно переписать в виде:

y(t)=A0(A)+A11(A)×Asin(ωt)+A12(A)×Acos(ωt).

Если НЭ имеет характеристику, симметричную относительно начала координат, то коэффициент A0(A)=0 при любой амплитуде. Тогда с учетом того, что

, x(t)=A×sin(ωt),

сигнал y запишется следующим образом:

.

После преобразования Лапласа:

.

Передаточная функция линеаризованного НЭ имеет вид:



.

Пример определения коэффициентов гармонической линеаризации.

Пусть НЭ представлен характеристикой как на рисунке 10.2.


Тогда:

Передаточная функция линеаризованного НЭ .

 

Амплитудо-фазочастотная характеристика линеаризованного нелинейного элемента.

Как и в случае линейных систем переход к частотным характеристикам осуществляется путем подстановки p=jω. Тогда:

.

Главное отличие полученной АФЧХ от АФЧХ линейных систем заключается в том, что WНЭ зависит от амплитуды входного сигнала, но не зависит от частоты (в линейных системах наоборот), поэтому чаще АФЧХ записывают как функцию амплитуды WНЭ(А).

Определение устойчивости методом гармонической линеаризации.

Пусть НСАУ представлена структурой на рисунке 10.3.

Согласно критерию устойчивости Найквиста система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, j0). Или по другому Wp(jω)>-1.

Таким образом для исходной структуры: Wр(jω)=WНЭ(A)×WЛЧ(jω)>-1 Þ Þ .

Графически это выглядит следующим образом. Если АФЧХ линейной части WЛЧ(jω) не пересекает характеристику -1/WНЭ(A) и лежит выше ее, то данная нелинейная система устойчива. Если эти две характеристики пересекаются, то система может быть как неустойчивой, так и иметь режимы автоколебаний. На рисунке 10.4 представлены АФЧХ устойчивой и неустойчивой систем.



В свою очередь автоколебания могут быть устойчивыми и неустойчивыми. В режиме устойчивых автоколебаний амплитуды периодических сигналов в системе не изменяются. Стабильна также и частота автоколебаний. При неустойчивых автоколебаниях амплитуда либо бесконтрольно возрастает, либо уменьшается.

Для определения типа автоколебаний необходимо знать в какую сторону перемещается точка на характеристике -1/WНЭ(A) при увеличении амплитуды сигнала. Если точка уходит в область вне характеристики WЛЧ(jω), то данные автоколебания устойчивы. Если уходит внутрь этой области – то неустойчивы (рисунок 10.5).

Критерий абсолютной устойчивости Попова.

Под абсолютной устойчивостью понимают устойчивость в целом, имеющую место для всех характеристик нелинейного элемента Ф(x) принадлежащих определенному классу.

Рассмотрим класс нелинейностей (0;k). Характеристики данного класса лежат в I и III квадрантах и находятся между осью x и лучем с угловым коэффициентом k (примером такой нелинейности можно отнести нелинейность типа насыщения).

Критерий устойчивости Попова: для абсолютной устойчивости нелинейной системы с устойчивой линейной частью достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) существует такое вещественное число α, при котором действительная часть функции Попова π(jω) положительна:

,

где W(jω) – АФЧХ линейной части.



2) функция НЭ Ф(x) принадлежит классу (0;k), то есть математически:

.

Более удобна геометрическая интерпретация критерия устойчивости Попова. Для этого строится видоизмененная АФЧХ линейной части:

,

где P(ω) и Q(ω) – вещественная и мнимая характеристики линейной части.

Графический критерий Попова: если через точку с координатами (-1/k; j0) можно провести прямую, которая бы не пересекала видоизмененную АФЧХ W*(jω), то система устойчива для класса (0;k).

Следует отметить, что критерий достаточен, но не необходим. То есть если нельзя провести прямую, то система может быть как абсолютно устойчивой, так и не быть таковой.

Примеры приведены на рисунке 10.6.


Вопрос


Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 375; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты