Метод гармонической линеаризации нелинейных САУ. Критерий устойчивости Попова нелинейных САУ.

Понятие нелинейной системы (см. вопрос 9).

Достоинства и недостатки метода фазовой траектории.

Достоинства:

1) НСАУ заменяют на линейную путем кусочно-линейной аппроксимации и разделением режимов работы;

2) Наглядно показывает поведение замкнутых и разомкнутых систем;

3) Наглядно иллюстрирует устойчивость НСАУ.

Недостатки

1) большой объем вычислительной работы;

2) для определения устойчивости необходимо выполнить построение фазовых траекторий для различных начальных условий.

Суть метода гармонической линеаризации. Линейная часть как фильтр высших частот.

В большинстве САУ линейная часть представляет собой фильтр высших частот. Например, для системы имеющей два апериодических звена:

Видно, что сигнал x₁, имеющий достаточно много высших гармоник при прохождении через линейную часть постепенно «сглаживается» (x₂, x₃). И на выходе системы сигнал практически не отличается от синусоиды, которая подается на вход нелинейного элемента.

Суть метода гармонической линеаризации заключается в представлении нелинейного элемента как линейного усилительного звена, на выходе которого присутствует синусоидальный сигнал. Коэффициент усиления линеаризованного нелинейного элемента будет зависеть от амплитуды входного сигнала.

Преобразование Фурье.

Пусть на вход НЭ с функциональной зависимостью y=f(x) поступает синусоидальный сигнал x(t)=A×sin(ωt). Выходной сигнал y можно разложить в ряд Фурье, причем имеет смысл только первая гармоника:

y(t)=A₀+A₁₁×A×sin(ωt)+A₁₂×A×sin(ωt)+высшие гармоники,

где A₀, A₁₁, A₁₂ – коэффициенты ряда Фурье:

,

,

.

Так как НЭ имеет нелинейную функциональную зависимость, то очевидно коэффициенты ряда Фурье будут зависеть от амплитуды A входного сигнала. Тогда выходной сигнал можно переписать в виде:

y(t)=A₀(A)+A₁₁(A)×Asin(ωt)+A₁₂(A)×Acos(ωt).

Если НЭ имеет характеристику, симметричную относительно начала координат, то коэффициент A₀(A)=0 при любой амплитуде. Тогда с учетом того, что

, x(t)=A×sin(ωt),

сигнал y запишется следующим образом:

.

После преобразования Лапласа:

.

Передаточная функция линеаризованного НЭ имеет вид:

.

Пример определения коэффициентов гармонической линеаризации.

Пусть НЭ представлен характеристикой как на рисунке 10.2.

Тогда:

Передаточная функция линеаризованного НЭ .

Амплитудо-фазочастотная характеристика линеаризованного нелинейного элемента.

Как и в случае линейных систем переход к частотным характеристикам осуществляется путем подстановки p=jω. Тогда:

.

Главное отличие полученной АФЧХ от АФЧХ линейных систем заключается в том, что W_НЭ зависит от амплитуды входного сигнала, но не зависит от частоты (в линейных системах наоборот), поэтому чаще АФЧХ записывают как функцию амплитуды W_НЭ(А).

Определение устойчивости методом гармонической линеаризации.

Пусть НСАУ представлена структурой на рисунке 10.3.

Согласно критерию устойчивости Найквиста система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, j0). Или по другому W_p(jω)>-1.

Таким образом для исходной структуры: W_р(jω)=W_НЭ(A)×W_ЛЧ(jω)>-1 Þ Þ .

Графически это выглядит следующим образом. Если АФЧХ линейной части W_ЛЧ(jω) не пересекает характеристику -1/W_НЭ(A) и лежит выше ее, то данная нелинейная система устойчива. Если эти две характеристики пересекаются, то система может быть как неустойчивой, так и иметь режимы автоколебаний. На рисунке 10.4 представлены АФЧХ устойчивой и неустойчивой систем.

В свою очередь автоколебания могут быть устойчивыми и неустойчивыми. В режиме устойчивых автоколебаний амплитуды периодических сигналов в системе не изменяются. Стабильна также и частота автоколебаний. При неустойчивых автоколебаниях амплитуда либо бесконтрольно возрастает, либо уменьшается.

Для определения типа автоколебаний необходимо знать в какую сторону перемещается точка на характеристике -1/W_НЭ(A) при увеличении амплитуды сигнала. Если точка уходит в область вне характеристики W_ЛЧ(jω), то данные автоколебания устойчивы. Если уходит внутрь этой области – то неустойчивы (рисунок 10.5).

Критерий абсолютной устойчивости Попова.

Под абсолютной устойчивостью понимают устойчивость в целом, имеющую место для всех характеристик нелинейного элемента Ф(x) принадлежащих определенному классу.

Рассмотрим класс нелинейностей (0;k). Характеристики данного класса лежат в I и III квадрантах и находятся между осью x и лучем с угловым коэффициентом k (примером такой нелинейности можно отнести нелинейность типа насыщения).

Критерий устойчивости Попова: для абсолютной устойчивости нелинейной системы с устойчивой линейной частью достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) существует такое вещественное число α, при котором действительная часть функции Попова π(jω) положительна:

,

где W(jω) – АФЧХ линейной части.

2) функция НЭ Ф(x) принадлежит классу (0;k), то есть математически:

.

Более удобна геометрическая интерпретация критерия устойчивости Попова. Для этого строится видоизмененная АФЧХ линейной части:

,

где P(ω) и Q(ω) – вещественная и мнимая характеристики линейной части.

Графический критерий Попова: если через точку с координатами (-1/k; j0) можно провести прямую, которая бы не пересекала видоизмененную АФЧХ W^*(jω), то система устойчива для класса (0;k).

Следует отметить, что критерий достаточен, но не необходим. То есть если нельзя провести прямую, то система может быть как абсолютно устойчивой, так и не быть таковой.

Примеры приведены на рисунке 10.6.

Вопрос