Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Z преобразование. Передаточная функция импульсных систем. Теорема Котельникова.




Читайте также:
  1. CASE-технология создания информационных систем.
  2. D) Осы кесіндіде функция шенелген болуы керек
  3. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  4. II. (Теорема Больцано-Вейерштрасса).
  5. Return x; нет этой инструкции, ведь функция так ничего не вернет!
  6. А) - функциялары аралығында сызықты тәуелсіз және олардың әрқайсысы көрсетілген біртекті теңдеудің шешімдері
  7. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  8. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  9. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины

 

Понятие импульсной САУ.

Импульсные системы отличаются от непрерывных тем, что сигнал воздействия на объект управления в них подается импульсами в определенные промежутки времени. Импульсную систему можно разделить на две составляющие (рисунок 11.1) - непрерывную часть НЧ (линейную и нелинейную) и импульсный элемент ИЭ, который преобразует непрерывный сигнал e(t) в импульсную последовательность h(t).

Этот процесс называют квантованием. Различают квантование по уровню и по времени.

 

Понятие непрерывного сигнала, решетчатой функции, и импульсной функции. Их взаимосвязь.

Для исследования импульсных систем ИЭ представляется в виде дискретизатора Д и формирователя Ф (рисунок 11.2).

Дискретизатор преобразует непрерывный сигнал e(t) в последовательность отсчетов e[nTд] – так называемую решетчатую функцию (Tд – период дискретизации, время через которое ключ Д периодически замыкается). Главное отличие решетчатой функции от непрерывной в том, что решетчатая функция существует только в моменты замыкания ключа Д (узлах решетки). В остальное время она просто не существует.

.

Для того чтобы свести все виды импульсных сигналов к одному виду с точки зрения математического описания вводится понятие формирователя Ф, который преобразует поданную на него решетчатую функцию e[nTд] в импульсный сигнал h(t). Так как на выходе формирователя образуется непрерывный по времени сигнал (существующий в любой момент времени), то передаточная функция Ф может быть отнесена к непрерывной части.

Чтобы на вход непрерывной части можно было подать решетчатую функцию, ее необходимо преобразовать в непрерывную. Для этого вводится понятие импульсной функции, представляющей собой множество дельта функций d(t), отстоящих друг от друга на расстояние Tд и модулированных значениями узлов решетки:

.

Таким образом, импульсная функция непрерывна по времени, и одновременно сохраняет свойства решетчатой функции.

 

Z преобразование решетчатой функции. Свойства Z преобразования.

Как и в случае с непрерывными сигналами удобно отойти от временной области. Для решетчатых функций существует Z преобразование:

,

где X(z) является изображением решетчатой функции x[nTД], z - комплексное число.



В итоге получается степенной ряд с бесконечным числом слагаемых, который может сходится (иметь конечную сумму) при определенных z. Эта область называется областью сходимости.

Примеры Z преобразования.

1) x[nTд]={0;1;2;3;2;1;0;0;…}

.

Ряд имеет конечную сумму, если |z|≠0.

 

2) единичный ступенчатый сигнал x[nTД]=1;

.

Ряд сходится при |z|>1.

3) экспоненциальный сигнал x[nTД]=e-n×α

.

Ряд сходится при |z|>1.

Обратное Z преобразование позволяет найти решетчатую функцию по ее изображению.

Теоремы Z-преобразования (свойства):

1) теорема линейности: Z{a1*f1[nT]+b1*f2[nT]}=a1Z{f1[nT]}+b1Z{f2[nT]};

2) теорема сдвига: ;

3) теорема свертки: ;

Передаточная функция импульсных систем W(z).

Рассмотрим подачу единичного ступенчатого сигнала на разомкнутую импульсную систему, состоящую из дискретизатора с периодом дискретизации TД и непрерывной части с передаточной функцией W(p) (например апериодическое звено).

Из рисунка 11.3 видно, что в различных точках:

y1[0]=(x×ω)1=x[0]×ω[0]; (индекс – номер точки по рисунку).

y11[TД­]= (x×ω)2+(x×ω)5=x[0]×ω[TД]+x[TД]×ω[0];



y12[2TД­]= (x×ω)3+(x×ω)6+(x×ω)8=x[0]×ω[2TД]+x[TД]×ω[TД]+x[2TД]×ω[0];

y13[3TД­]= (x×ω)4+(x×ω)7+(x×ω)9+(x×ω)10=

=x[0]×ω[3TД]+x[TД]×ω[2TД]+x[2TД]×ω[TД]+x[3TД]×ω[0];

где ω[n] – решетчатая функция импульсной характеристики непрерывной части.


Тогда в общем виде:

y[nTД]= x[0]×ω[nTД]+x[TД]×ω[(n-1)TД]+x[2TД]×ω[(n-2)TД]+

+x[3TД]×ω[(n-3)TД]+…

По теореме свертки: Y(z)=W(z)*X(z), или

.

W(z) называется передаточной функцией импульсной системы и есть отношение Z изображения выходного сигнала на Z изображение входного сигнала.

Зная передаточную функцию непрерывной части можно определить передаточную функцию импульсной системы путем подстановки:

(p-pi) → (1-z-1epi×).

Например:

.

Дискретное преобразование Лапласа. Взаимосвязь между частотными характеристиками непрерывного и дискретного сигналов.

Под дискретным преобразованием Лапласа понимают преобразование Лапласа над импульсной функцией x*(t):

X*(p)=L[x*(t)].

Очевидно, что есть взаимосвязь между изображением непрерывного сигнала X(p) и изображением импульсной функции X*(p):

То есть частотные характеристики дискретизированного сигнала есть сумма частотных характеристик непрерывного сигнала, сдвинутых относительно друг друга на частоту дискретизации .

При этом возможны две ситуации:

1) максимально высокочастотная составляющая непрерывного сигнала меньше половины частоты дискретизации. В этом случае соседние частотные характеристики не смешиваются между собой (рисунок 11.4). Для выделения непрерывного сигнала из импульсной последовательности достаточно применить полосовой фильтр с полосой пропускания до ωД/2.

2) максимально высокочастотная составляющая непрерывного сигнала больше половины частоты дискретизации. В этом случае соседние частотные характеристики складываются и частотная характеристика импульсного сигнала искажается (рисунок 11.5). При этом информация об исходном сигнале безвозвратно искажается (теряется) и отфильтровать импульсную последовательность не удастся.

Теорема Котельникова:

Если функция не содержит частот, превышающих половины частоты дискретизации, то она полностью определяется своими значениями в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга на время T=2π/ωД. Функция, в этом случае, может быть полностью восстановлена из импульсной последовательности.

 


Вопрос


Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 88; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты