Частотные характеристики импульсных систем. Устойчивость импульсных систем. Разностное уравнение. Цифровые фильтры.

Частотные характеристики импульсных систем. Периодичность характеристик.

При известной передаточной функции импульсной системы W(z), частотные характеристики получаются путем замены:

z=e^jωTд.

Так как e^jωTд=cos(ωT_Д)+jsin(ωT_Д), то частотные характеристики системы получаются периодическими с периодом 2π/T_Д.

Особенности частотных характеристик:

1) импульсные системы имеют похожие с непрерывными системами частотные характеристики лишь в ограниченном диапазоне частот, до половины частоты дискретизации;

2) для большей сходимости поведения импульсных и непрерывных систем необходимо выбирать частоту дискретизации как можно больше;

3) так как частотные характеристики импульсных и непрерывных систем отличаются друг от друга, то соответственно и отличаются переходные характеристики для различных воздействий.

Устойчивость импульсных систем. Корневой метод. Частотный метод.

Для непрерывных систем устойчивость определяется по вещественным частям корней характеристического уравнения. То есть если p_i=α_i±jω_i – корни характеристического уравнения, то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все α_i<0.

Аналогичен корневой метод устойчивости и для импульсной системы. Если передаточная функция импульсной системы записана через Z преобразование, то, если z_i – корни характеристического уравнения, следовательно:

.

Модуль cos(ω_iT_Д) ± jsin(ω_iT_Д) всегда равен единице. Согласно корневому критерию α_i<0 при этом <1, следовательно |z_i|<1.

Для того, чтобы импульсная система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения замкнутой передаточной функции лежали бы внутри круга с единичным радиусом с центром в начале координат.

Примеры расположения корней и соответствующих переходных процессов показаны на рисунке 12.1.

Так как частотные характеристики импульсных систем являются периодическими функциями, то применение частотных критериев (Михайлова, Найквиста) ограничено диапазоном частот от 0 до ω_Д.

Для применения критериев без ограничения вводится понятие псевдочастоты s:

.

Данное преобразование переводит область внутри единичного круга в z области (|z|<1) в левую полуплоскость псевдочаcтоты (s<0). Область вне круга (|z|>1) в правую полуплоскость, а сам круг (|z|=1) в ось ординат (s=0).

Если в передаточной функции W(z) сделать соответствующую подстановку, то критерии устойчивости можно применить как в случае непрерывных систем.

Критерий Михайлова: для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении псевдочастоты s от 0 до ∞ начинался при s = 0 на вещественной положительной полуоси комплексной плоскости и обходил только против часовой стрелки (в положительном направлении) последовательно n квадрантов, где n –порядок характеристического уравнения системы.

Критерий Найквиста: замкнутая импульсная система устойчивая, если годограф устойчивой разомкнутой ИСАУ при изменении псевдочастоты s от 0 до ∞ не охватывает точку с координатами -1, j0.

Разностное уравнение. Вывод разностного уравнения из передаточной функции W(z). Пример построения переходной функции по разностному уравнению.

Так как W(z) определяет поведение ИСАУ, то возможно построение алгоритма функционирования. Пусть:

,

Применяя обратное Z преобразование и теорему сдвига имеем:

Выделяя y[nT_Д]:

получаем разностное уравнение, позволяющее описать алгоритм вычисления последующего значения y[nT_Д] через предыдущие значения y и значения входной величины x.

Пример. Необходимо получить алгоритм функционирования ИСАУ, имеющую переходную функцию, аналогичную апериодическому звену.

Для апериодического звена переходная функция h(t)=1-e^-t/T=1(t)-e^-t/T.

Z преобразование данной функции:

Соответственно разностное уравнение:

Для параметров T_Д=T, e^-1=0.37, тогда разностное уравнение:

Для единичного ступенчатого сигнала на входе x[nT_Д]=1, решетчатая функция на выходе будет равна соответственно:

y[nT_Д]={0; 0.63; 0.86; 0.95; …}

Цифровые фильтры. Прямая и каноническая структурные схемы цифрового фильтра.

Пусть передаточная функция цифрового фильтра (в знаменателе 1 без z):

Тогда согласно разностному уравнению:

Этому уравнению соответствует структурная схема цифрового фильтра, изображенного на рисунке 12.2.

Данную форму называют прямой формой.

Недостатком такого построения заключается в необходимости запоминать 2m значений входного и выходного сигналов (элементы памяти отображаются на структуре как z^-1).

Для упрощения необходимо разбить фильтр на две составляющие:

.

Промежуточная функция . Если построить структурную схему по прямой форме, то получится вторая половина цифрового фильтра. То есть необходимо запоминать m значений промежуточной функции F(z). Одновременно Y(z)=A(z)×F(z) – это первая половина прямой формы, согласно которой необходимо запоминать m значений функции F(z). Объединяя структурные схемы получим (рисунок 12.3).

Итого всего m элементов памяти.