КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Введение. Основными целями лабораторного практикума по курсу "Информатика
Основными целями лабораторного практикума по курсу "Информатика. Основы вычислительной математики" являются:
- закрепление знаний по теоретическим основам использования методов вычислительной математики для анализа математических моделей технических и экономических объектов;
- получение практических навыков работы на компьютерах, отладки и тестирования программ.
Методические указания являются третьей частью серии методических указаний по курсу «Информатика» для студентов заочного обучения. Они содержат описание ряда численных методов, примеры решения конкретных задач и индивидуальные задания для самостоятельных лабораторных работ. В указаниях рассмотрены следующие темы: приближенное решение нелинейных уравнений; решение систем линейных алгебраических уравнений; решение обыкновенных дифференциальных уравнений; аппроксимация функций с помощью метода наименьших квадратов; линейное программирование.
Для реализации численных методов в процессе решения поставленных задач предполагается использование среды программирования Turbo Pascal или процессора электронных таблиц MS Excel.
Требования к оформлению лабораторных работ
Лабораторные работы оформляются в тетради в виде отчета, который должен содержать:
1. Номер варианта
2. Название лабораторной работы.
3. Задание.
4. Расчетная часть:
a. Краткое теоретическое описание метода.
b. Ручной расчет для двух-трёх шагов.
c. Текст программы или описание хода решения задачи с использованием MS Excel.
d. Введенные исходные данные и результаты расчетов.
5. Вывод.
1. Приближенное решение нелинейных уравнений
Пусть дано уравнение с одним неизвестным
, (1.1)
где 
- заданная алгебраическая или трансцендентная 
функция.
Решить уравнение - значит найти все его корни, то есть те значения 
, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.
В общем случае не существует формул, по которым определяются точные значения корней уравнения (1.1). Для отыскания корней используют приближенные методы, при этом корни находятся с некоторой заданной точностью 
. Это означает, что если 
- точное значение корня уравнения, а 
- его приближенное значение с точностью , то 
. Если корень найден с точностью , то принято писать 
.
Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции , в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).
2. Уточнение корней до заданной точности.
Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того, чтобы графически отделить корни уравнения (1.1), строят график функции 
. Абсциссы точек его пересечения с осью Ox есть действительные корни уравнения (рис. 1). Практически бывает удобнее заменить уравнение (1.1) равносильным ему уравнением
, (1.2)
где 
и 
- более простые функции, чем . Абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
дают корни уравнения (1.2), а значит и исходного уравнения (1.1) (рис.2).
Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме: если непрерывная на отрезке 
функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. 
, то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения ; если при этом производная 
со-
Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций - показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
храняет знак внутри отрезка , то корень является единственным.
Рис. 1. Рис. 2.
Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Рассмотрим самый простой из них - метод половинного деления.
|
, то в качестве нового отрезка изоляции корня 
выбираем ту половину 
или 
, на концах которой 
, то корень принадлежит отрезку 
- отрезку 
,
. Находим середину отрезка по формуле 
(рис.3). Если 
, то с - искомый ко-
Рис. 3.
вычисляем 
, выбираем отрезок 
и т.д. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего, то есть за 
шагов отрезок сократится в 
раз. Как только будет выполнено 
, то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью , можно взять 
.
Пример. Пусть требуется решить уравнение 
с точностью =0,0001. Отделим корень графически. Для этого преобразуем урав-
|
|
.
Подтвердим аналитически правильность нахождения отрезка изоляции корня. Для отрезка 
;
. Следовательно, корень отделён правильно.
и построим графики функций 
и
|
Рис. 4.
Уточнение корня выполним методом половинного деления.
Первый шаг. 
Корень принадлежит отрезку 
Второй шаг. 
Корень принадлежит отрезку 
Третий шаг. 
Корень принадлежит отрезку 
Сведём результаты вычислений в таблицу.
Таблица 1.
| a | b | 
| c | f(a) | f(c) | 
|
| 0.5 | 0.5 | -0.57436 | <0 | |||
| 0.5 | 0.5 | 0.25 | 0.5 | -0.07951 | <0 | |
| 0.25 | 0.25 | 0.125 | 0.5 | 0.19905 | >0 | |
| 0.125 | 0.25 | 0.125 |
Дальнейшие вычисления проведём с помощью программы.
program equation; {Решение уравнения методом половинного деления}
Дата добавления: 2015-02-09; просмотров: 81; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |