Метод Гаусса-Зейделя.

Данный метод является одним из самых распространенных итерационных методов решения СЛАУ, поскольку он отличается простотой и легкостью программирования. Рассмотрим его суть. Допустим, диагональные коэффициенты исходной матрицы {a_ij}отличны от нуля (в противном случае можно переставить местами уравнения исходной системы). Представим исходную систему (2.1) в следующем виде:

(2.5)

Если теперь задать для неизвестных их начальные приближенные значения , то система (2.5) позволяет вычислить более точные значения неизвестных на первом шаге (на первой итерации):

(2.6)

Используя найденные значения неизвестных, можно еще более уточнить их на второй итерации:

(2.7)

и так далее.

В данном методе для нахождения значения i-го неизвестного на каждой итерации используются значения предыдущих неизвестных, уже найденные на данной итерации. Общую формулу определения i-го неизвестного на k-й итерации для системы n уравнений можно записать так:

i = 1, 2, … , n; k = 1, 2, …

(2.8)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения x_i^(k),не станут достаточно близкими к x_i^(k-1). Близость этих значений можно охарактеризовать максимальной абсолютной величиной их разности d. Тогда при заданной точности вычислений e > 0 критерий окончания итерационного процесса можно записать в виде

.

(2.9)

При выполнении этого условия итерационный процесс называется сходящимся. В этом случае максимальные разности между значениями соответствующих неизвестных в двух последовательных итерациях убывают, а сами значения стремятся к решению системы.

Доказано, что для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения были не меньше суммы модулей всех остальных коэффициентов:

,

(2.10)

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство (2.10) должно выполняться строго.

В качестве примера рассмотрим решение методом Гаусса-Зейделя системы (2.2). Заметим, что достаточное условие сходимости итерационного процесса (2.10) для этой системы соблюдается. Запишем исходную систему в виде

 

В качестве начальных приближений возьмем нули, т.е. примем x₂⁽⁰⁾ = x₃⁽⁰⁾= 0.

Найдем значения неизвестных на первой итерации:

 

 

 

 

Далее произведем вторую итерацию:

 

Производя аналогично третью и последующие итерации, найдем:

x₁⁽³⁾ = 0,984; x₂⁽³⁾ = 1,981; x₃⁽³⁾ = 2,953;

x₁⁽⁴⁾ = 1,015; x₂⁽⁴⁾ = 1,992; x₃⁽⁴⁾ = 2,988;

x₁⁽⁵⁾ = 0,999; x₂⁽⁴⁾ = 1,993; x₃⁽³⁾ = 2,997.

Нетрудно заметить, что разности между значениями соответствующих неизвестных в процессе итераций убывают, следовательно, процесс решения сходящийся, что и следовало ожидать. Если принять точность вычислений e = 0,02, то итерации следует закончить. При увеличении заданной точности вычисления корней, число итераций возрастает, например, при e = 0,00001 следует выполнить 11 итераций, а результат будет x₁⁽¹¹⁾ = 1,000000; x₂⁽¹¹⁾ = 1,999998; x₃⁽¹¹⁾ = 2,999999.

Программа для решения СЛАУ методом Гаусса-Зейделя приведена ниже. Поскольку при некорректной постановке задачи количество итераций может стать излишне большим, в программе предусмотрено прекращение итерационного процесса при превышении заранее заданного предельного числа итераций.

program SLAU2; {Решение системы методом Гаусса-Зейделя}