Оценки хроматического числа

1.
Теорема Кенига
Граф бихроматичен ( ) тогда и только тогда, когда в нет циклов нечетной длины.

2.
Теорема
, где - плотность графа .

3.
Теорема
, где - степень графа .

4.
Оценка Бержа
, где - число внешней устойчивости графа .

5.

Теорема
, где , .
, где , .
, где , .
, где .

Примеры

а) Графы не имеют общих вершин.
По теореме выше .
б) Графы имеют по одной общей вершине.
Отметим для нечетного цикла следующую раскраску: одна вершина в 3-й цвет, остальные в 1-й и 2-й цвета поочередно. На нашем графе вначале раскрасим в два цвета четный цикл (вместе с общей вершиной). Теперь рассмотрим нечетный цикл. В нем общая вершина оказалась закрашена каким-то цветом. Считаем этот цвет 3-им и закрашиваем все остальные вершины поочередно в два цвета (отличные от ранее выбранных, так как имеем граф суммы). Итого использовали четыре цвета. .
в) Графы имеют по две общие, не смежные между собой вершины.
Так как между двумя смежными вершинами в обоих графах будет располагаться цепь длиной, по крайней мере, , соединенная с аналогичной цепью в другой части графа всеми возможными связями, то . Для четырех цветов раскраска существует всегда: сначала раскрашиваем четный цикл в два цвета, затем оставшиеся цепи нечетного цикла закрашиваем в другие два цвета. .

Алгоритм приближенной раскраски графа (алгоритм Ершова)

Алгоритм основан на стягивании несмежных вершин:

Стягивание проводить до тех пор, пока не получим полный граф. Мощность этого полного графа является оценкой хроматического числа сверху, а сам полный граф определяет приближенную раскраску графа.

Замечание
В первую очередь желательно стягивать те вершины, расстояние между которыми четно.

Пример

Задача
Есть 3 предприятия, на которых должны выпускаться 11 изделий. Каждый тип изделий должен выпускаться только на одном предприятии. При выпуске изделий разного типа ( ) могут использоваться общие детали и материалы. Для каждой пары изделий указан процент общих деталей и материалов. Необходимо распределить изделия по предприятиям так, чтобы на одном предприятии выпускались детали с наибольшим процентом общих деталей. Критерий: Минимум общих поставок для изделий, выпускаемых на одном предприятии был как можно больше.

Граф несовместимости изделий

	Раскраска:
	Раскраска:
	Раскраска:
	Раскраска:

Решение - I предп. II предп. III предп.