Статистические решения

После оптимального фильтра выходной сигнал W (t) в индикаторах поступает на ограничитель (см. рис. 91), пред­ставляющий собой пороговое устройство. В случае превыше­ния им порога обнаружения W ₀ принимается решение, что в нем содержится полезный сигнал X(t), являющийся откли­ком на входное воздействие Q (t). В противном случае счи­тается, что W (t) является реакцией оптимального фильтра на помеху h (t) . В соответствии с основным постулатом метрологии результат измерения (а при измерениях по шкале порядка результатом измерения служит решение) является случайным. Возникает вопрос, какова вероятность правиль­ного и неправильного решения?

Ответ на этот вопрос дает теория статистических решений.

Рассмотрим графическую интерпретацию ситуаций, кото­рые возникают в процессе принятия решения.

На рис. 96 построены графики плотности распределения вероятности сигнала на выходе оптимального фильтра при

наличии в нем отклика на полезный входной сигнал — p₁ (W) и при его отсутствии – р₀(W). В случае превышения сигналом W(t₀) порогового значения W ₀ считается, что он подчиняется закону распределения вероятности с плотностью p₁(W). Ве­роятность р₀ того, что такой сигнал окажется в интервале значений [W ₀ ; ∞] , равна (см. разд. 2.2) :

Она называется вероятностью правильного обнаружения. На рис. 96 площадь, равная вероятности правильного обнаруже­ния, заштрихована штриховкой, перпендикулярной оси W. Может однако случиться, что. в момент времени t₀ сигнал на выходе оптимального фильтра, содержащий отклик на полез­ный входной сигнал, примет значение, меньшее W_0. Тогда будет принято неправильное решение о том, что "полезного сигнала на входе оптимального фильтра нет. Вероятность такого неправильного решения, называемая вероятностью ошибки второго рода (см. разд. 2.6.2),

На рис. 96 площадь, равная вероятности ошибки второго рода, заштрихована двойной косой штриховкой.

Если в сигнале на выходе оптимального фильтра нет от­клика на полезный входной сигнал, то он подчиняется зако­ну распределения вероятности с плотностью р₀ (W). В случае превышения таким сигналом в момент времени t₀ порогового значения W ₀ будет принято ошибочное решение о том, что полезный сигнал на входе оптимального фильтра есть. Вероят­ность такой ошибки первого рода

На рис. 96 площадь, равная вероятности ошибки первого рода, заштрихована штриховкой, параллельной оси W. Вероятность правильного решения о том, что полезного сигнала на входе оптимального фильтра нет, принимаемого при W (t₀) < W ₀ ,

Соответствующая площадь на рис.96 заштрихована косой штриховкой.

При всех обстоятельствах

Анализ рассмотренных ситуаций показывает, что при уменьшении порога обнаружения W₀ увеличивается вероят­ность правильного обнаружения Р₀ и уменьшается вероят­ность ошибки второго рода Р_II, но одновременно растет ве­роятность ошибки первого рода P_I и уменьшается вероят­ность правильного решения об отсутствии полезного сигна­ла Р_III . При увеличении порога обнаружения W₀, наоборот, ве­роятность правильного решения об отсутствии полезного сигнала Р_III увеличивается, а вероятность ошибки первого рода P_I уменьшается, но растет вероятность ошибки второго рода Р_IIи уменьшается вероятность правильного обнаружения Р₀ . При столь противоречивых тенденциях выбор оптималь­ного значения порога обнаружения W_НПдолжен производить­ся на основе какого-либо критерия.

Критерий Неймана — Пирсона. Простей­шим критерием является требование обеспечить заданную вероятность ошибки первого рода (иногда ее называют ве­роятностью ложной тревоги). Согласно этому критерию, называемому критерием Неймана —Пирсона, значение поро­га обнаружения W_НПопределяется из уравнения

P_I = p₀ (W) dW ,

где вероятность ошибки первого рода P_I является заданной. Критерий Неймана — Пирсона широко применяется на эта­пе проектирования средств измерений, так как не требует знания p₁ (W) в реальных условиях эксплуатации.

Пример 47. Реакция оптимального фильтра на помеху подчиняется нормированному нормальному закону распределения вероятности. Установить значение порога обнаружения по критерию Неймана — Пир­сона при заданной вероятности ложной тревоги Р_I = 0,1.