Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными с помощью средства Поиск решения 1 страница

Надстройка Поиск решения позволяет находить решение систе­мы нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

, (18)

где f_i (x,y), i = 1,2 – нелинейная функция от переменных х и у;

С_i, i = 1,2 – произвольная постоянная.

Известно, что пара (х, у) является решением системы уравнении (18) тогда и только тогда, когда она является решением следующего нелинейного уравнения с двумя неизвестными:

. (19)

С другой стороны, решение системы (18) – это точки пересечения двух кривых: f₁(x, y) = C₁ и f₂(х, у) = С₂ на плоскости XOY.

Из этого следует метод нахождения корней системы нелинейных уравнений.

1. Определить (хотя бы приближенно) интервал существования решения системы уравнений (18) или уравнения (19). Здесь необходимо учитывать вид уравнений, входящих в систему, область определения каждого их уравнений и т.п. Иногда применяется подбор начального приближения решения.

2. Протабулировать решение уравнения (19) по переменным х и у на выбранном интервале, либо построить графики функций f₁(х, у) = С₁ и f₂(x, y) = C₂ (система (18).

3. Локализовать предполагаемые корни системы уравнений – найти несколько минимальных значений из таблицы табули­рования корней уравнения (19), либо определить точки пересе­чения кривых, входящих в систему (18).

4. Найти корни для системы уравнений (18) с помощью надстрой­ки Поиск решения.

Пример 4. Решить следующую систему нелинейных уравнений:

Решение.Решением системы уравнений являются точки пересечения окружности (с радиусом 2 и центром (1, -1) и прямой

у = 0,5-1,25x.

Данную систему заменим равносильным уравнением:

,

для которого будем искать решения с помощью надстройки Поиск решения.

1. Исходя из графиков уравнений интервал локализации корней определим в границах от -3 до 3 (рис. 28). Ячейки В3:В43 содержат значения Х.

Рис. 28. Графическое решение системы нелинейных уравнений

Формулы для построения графиков:

- в ячейки С3:

= -1+КОРЕНЬ(4-(B3-1)^2;

- в ячейки D3:

= -1-КОРЕНЬ(4-(B3-1)^2);

- в ячейки E3:

= (2-5*B3)/4.

2. Табулируем равносильное уравнение на отрезке [-3; 3] c шагом 0,5 (рис. 29).

Рис. 29. Табулирование функции для нахождения решения

системы уравнений

3. Локализуем корни равносильного уравнения (рис. 30):

Рис. 30. Локализация корней системы уравнений

- ячейки A47:A59 cодержат значения Х на отрезке [-3; 3] с шагом 0,5;

- ячейки В46:N46 содержат значения Y на отрезке [-3; 3] с шагом 0,5;

- формула для ячейки В47 (копируем на диапазон B47:N59):

=(($A47-1)^2+(B$46+1)^2-4)^2+(5*$A47+4*B$46-2)^2;

- формула для ячейки В62 (копируем на диапазон B62:N62):

= МИН(B47:B59)

Исходя из результатов вычислений следующие пары предполагаемых корней уравнения: (-2,5; -2,5), (2; -2), (0; 0,5) и (0;1).

4. Найдем корни равносильного уравнения (рис. 31) – для этого поместим пары значений для предполагаемых корней в ячейки D69:E72. В ячейку G69 введем формулу для равносильного уравнения (копируется на диапазон G69:G72):

Рис. 31. Подготовка листа рабочей книги для нахождения корней нелинейной системы уравнений

Рис. 32. Ввод данных в окно Поиск решения для задачи нахождения корней системы уравнений

С помощью надстройки Поиск решения (в окне Параметры поиска решения (рис. 32) флажок Линейная модель должен быть снят) установим необходимые параметры для поиска корня равносильного уравнения (рис. 33), затем вы­полним поиск решения. Процедуру повторим для всех имею­щихся пар корней.

Рис. 33. Окно Параметры поиска решения

Результаты поиска решения (рис. 34) позволяют сделать вывод о том, что система имеет 2 решения: (2,3675745729901; -2,45934248863711) и (-0,123564081639673; 0,654434224216163).

Рис. 34. Результаты поиска решения для нелинейной системы уравнений

5. Балансовые модели

5.1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (ее называют моделью Леонтьева, или моделью «затраты – выпуск»).

Алгебраическая теория анализа модели «затраты – выпуск» сводится к решению системы линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства раз­бит на п «чистых» отраслей. «Чистая» отрасль – это условное понятие, некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйствои т.п.).

Пусть X_ij – объем продукции отрасли i, расходуемый в отрас­ли j; Х_i – объем производства отрасли i за данный промежуток времени (так называемый валовой выпуск продукции i); Y_i – объем потребления продукции отрасли i в непроизводственной сфере (объем конечного потребления); Ζ_ј – условно чистая продукция, которая включает в себя оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимост­ными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Ниже мы будем рассматривать стоимостной баланс. В таблице 8 представлена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Таблица 8

Матрица межотраслевого баланса (в общем виде)

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
1	2	…	n
1	Х11	Х12	…	Х1n	Y1	Х1
2	Х21	Х22	…	Х2n	Y2	Х2
…	…	…	…	…	…	…
n	Хn1	Хn2	…	Хnm	Y3	Хn
Условно чистая продукция	Z1	Z2	…	Zn
Валовой продукт	Х1	Х2	…	Xn

Рассматривая схему баланса по столбцам, можно заметить, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее ус­ловно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

. (20)

Напомним, что величина условно чистой продукции Ζ_ј равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода отрасли j. Данноесоотношение охватывает систему из п уравнений, отражаю­щих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производя­щей отрасли, замечаем, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее про­дукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

. (21)

Формула (21) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что

.

Коэффициенты прямых материальных затрат.Основу экономико­-математической модели МОБ составляет технологическая матрица коэффициентов прямых затрат А(а_ij).

Коэффициент прямых материальных затрат а_ij показывает, сколько необходимо единиц продукции отрасли i для производ­ства единицы продукции отрасли j, если учитывать только прямые затраты:

. (22)

Сделаем два важных предположения, необходимых для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева.

1. Сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А= (а_ij) постоянна.

2. Постулируем свойство линейности существующих техно­логий: для выпуска отраслью j любого объема продукции X_j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве a_ijX_j, т.е. материальные издержки пропорциональны объему производи­мой продукции:

x_ij = a_ijX_j. (23)

Подставляя (23) в балансовое соотношение (21), получаем

, (24)

или в матричной форме

X=AX+Y. (25)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

– задавая для каждой отрасли величины валовой продукции (X_i), можно определить объемы конечной продукции каждой от­расли (Y_i):

Y= (Е - А)Х; (26)

– задавая величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрас­ли (X_i):

Х = (Е - А)^-1 Y; (27)

– задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, мож­но найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (26) и (27) символ Еобозначает единичную матри­цу порядка n, а (Е - А)^-I– матрицу, обратную к матрице (Е - А).

В = (Е – А) ^-I = Е + А + А² + А^З + ...; (29)

3) наибольшее по модулю собственное значение λматрицы А, т.е. решение характеристического уравнения │λЕ–А│= 0 строго меньше единицы;

4) все главные миноры матрицы (Е – А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n положительны.

Более простым способом проверки продуктивности матрицы А является ограничение на величину её нормы, в данном случае на величину наибольшей из сумм элементов матрицы в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие является достаточным, но не необходимым условием продуктивности, поэтому матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда её норма больше единицы.

Пример 5.Даны коэффициенты прямых затрат а_ij и конеч­ный продукт Y_j для трехотраслевой экономической системы:

Требуется определить:

1) коэффициенты полных затрат;

2) вектор валового выпуска;

3) межотраслевые поставки продукции;

4) проверить продуктивность матрицы А;

5) заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения задачи воспользуемся функциями Excel.

В таблице 9 приведены результаты решения задачи по первым трем пунктам.

1. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат В = (Е – А)^-1.