Решение. 1) Наивероятнейшее число k0 событий в серии из п повторных независимых испытаний находим как целое число

1) Наивероятнейшее число k₀ событий в серии из п повторных независимых испытаний находим как целое число, заключённое в пределах

пр-q <k₀ < пр +р.

В нашей задаче общее число испытаний п = 400 (количест­во отобранных для контроля изделий).

р = (90%) = 0,9 - вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным (вероятность «успеха»).

q = 1-р = 1-0,9=0,1 - вероятность того, что наугад вы­бранное изделие является нестандартным(вероятность «неудачи»).

Подставляя числовые данные в двойное неравенство, по­лучим:

В этих пределах находится единственное целое число: k₀ = 360, т.е. вероятнее всего, что из наугад выбранных 400 изделий, стан­дартными окажутся 360.

Заметим, что при больших значениях п наивероятнейшее число k₀ событий приближенно можно находить из соотношения

.

2)Найдем вероятность P₄₀₀(360), используя локальную теорему Лапласа:

, где

; - нормированная функция Гаусса.

Таблицы функции Гаусса имеются в Приложениях.

Вычисляем x, используя найденные ранее значения k=k₀, p и q:

.

По таблицам находим, что .

Тогда искомая вероятность будет равна:

.

3)Вероятность того, что среди 400 изде­лий окажется от 34 до 50 нестандартных найдем, исполь­зуя интегральную теорему Лапласа:

, где

- функция Лапласа,

В данном вопросе под «успехом» понимается событие, состоящее в том, что наугад выбранное изделие является не стандартным[1]. Отсюда:

р - вероятность того, что наугад выбранное изделие является не стандартным, р = 0,1;

q - вероятность того, что наугад выбранное изделие являет­ся стандартным, q = 0,9.

Находим аргументы функции Лапласа:

;

.

Тогда .

Значения функции Лапласа находим в Приложениях, учитывая, что эта функция нечетная Ф(-х) = -Ф(х): Ф( 1,67) =0,4525, Ф(-1 )=-0,3413.

Окончательно получаем:

.

Ответ: 1) Вероятнее всего, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий, стандартными окажутся k₀ = 360 шт.

2) Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся ровно 360, равна .

3) Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий нестандартными окажутся не менее 34 и не более 50, будет равна .