![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Выпуклость графика функции. Точки перегиба графикаОпределение 1. График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (а, в), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.
Выпуклый график ( Теорема 1(достаточное условие выпуклости графика функции). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции на некотором интервале отрицательна (положительна), то график функции на данном интервале выпуклый (вогнутый). Верна и обратная теорема. Исследовать на выпуклость график функции y=f(x) означает найти те интервалы из области ее определения, в которых вторая производная Заметим, что Определение 2. Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба графика функции. Точка а является точкой перегиба, а точка с нет, так как в этой точке функция не дифференцируема. Теорема 2. (необходимое условие существования точки перегиба). Если точка Определение 3. Точки, в которых вторая производная равна нулю илине существует, называются критическими точками второй производной. Если функция имеет точки перегиба, то они могут быть тольков критических точках. Теорема 3 (достаточное условие существования точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба. Пример: Исследовать на выпуклость график функции и найти точки перегиба: Данная функция определена на всей числовой прямой. Найдем критические точки второго рода:
х=1 критическая точка второго рода. Методом пробных точек определяем знак второй производной в каждом из интервалов Следовательно, на интервале
|