Выпуклость графика функции. Точки перегиба графика

Определение 1. График функции y=f(x) называется выпуклым (во­гнутым) на интервале (а, в), если касательная к графику, проведенная в любой точке этого интервала, расположена над (под) графиком функции.

Выпуклый график ( ) Вогнутый график ( )

Теорема 1(достаточное условие выпуклости графика функции). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции на некотором интервале отрицательна (положительна), то гра­фик функции на данном интервале выпуклый (вогнутый).

Верна и обратная теорема.

Исследовать на выпуклость график функции y=f(x) означает найти те интервалы из области ее определения, в которых вторая производная сохраняет знак.

Заметим, что может менять свой знак лишь в тех точках, где она обращается в нуль, или в тех точках, где она не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода.

Определение 2. Точки, в которой график функции меняет направ­ление выпуклости, называют точками перегиба графика функции.

Точка а является точкой перегиба, а точка с нет, так как в этой точке функция не дифференцируема.

Теорема 2. (необходимое условие существования точки перегиба). Если точка является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции,то в этой точке вторая производная равна нулю:

Определение 3. Точки, в которых вторая производная равна нулю илине существует, называются критическими точками второй произ­водной. Если функция имеет точки перегиба, то они могут быть тольков критических точках.

Теорема 3 (достаточное условие существования точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

Пример: Исследовать на выпуклость график функции и найти точки перегиба:

Данная функция определена на всей числовой прямой. Найдем критические точки второго рода:

х=1 критическая точка второго рода. Методом пробных точек определяем знак второй производной в каждом из интервалов , .

Следовательно, на интервале график обращен выпуклостью вверх, на интервале вогнут. Точка х=1 является точкой перегиба, т.к. сменила знак с «-« на «+».