Методы интегрирования. Неопределенные интегралы рассчитываются тремя методами.

Неопределенные интегралы рассчитываются тремя методами.

1. Интегрирование в случаях, когда удается сразу воспользоваться табличными интегралами, называют непосредственным. Метод непосредственного интегрирования заключается в преобразовании подынтегральной функции и применении свойств неопределенного интеграла для приведения к табличным интегралам.

Пример:

2. Метод подстановки заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который берется непосредственным интегрированием.

Сделаем замену переменной интегрирования х, положив x = j(t) (j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию).

Тогда и =

Подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х (возвращение к исходной переменной). Функцию j(t) следует выбирать так, чтобы вычисление интеграла в правой части было максимально простым.

Пример: . Положим х = аt, откуда dx = а dt, t=x/a. Исходный интеграл примет вид = = = Т.о

Рассмотрим другой пример:

[cosx = t; sinxdx = –dt] =

3. Метод интегрирования по частям заключается в том, что подынтегральное выражение представляется в виде произведения множителей и , при этом входит в . В результате заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем . Таким образом, используется формула:

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разбиение подынтегрального выражения на и . Существуют несколько типов интегралов:

1. Подынтегральное выражение содержит многочлен относительно переменной хи функции, для которых существует табличная первообразная (например cos аx; sin аx и др.), тогда за выбирают многочлен, а за все остальные множители.

2. Подынтегральное выражение содержит многочлен относительно переменной хи функцию, для которой не существует табличных интегралов, тогда за выбирают многочлен, умноженный на , а за принимают функцию, для которой нет табличной первообразной, но можно найти дифференциал .

3. В некоторых видах интегралов за функцию можно принимать любой из множителей подынтегрального выражения, если каждый из них имеет табличную первообразную.

Пример:

[и=2х-3; dи =2 dx; ] = . Таким образом

[и= ; dи=1/х dx; ] Тогда

Контрольные вопросы:

1) Сформулируйте определение первообразной функции.

2) Что называется неопределённым интегралом? Каков его геометрический смысл?

3) Сформулируйте свойства неопределенных интегралов.

4) Каковы основные методы интегрирования функций?

5) В чем заключается метод подстановки?

6) Укажите целесообразные подстановки для отыскания интегралов:

7) Выведите формулу интегрирования по частям.

8) Укажите некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

Задания для самостоятельной работы студентов:

1) Найти неопределённые интегралы 1) ; 2) и указать верный ответ:

1) а) б) 2) а) ; б) .

2) Найти неопределённые интегралы 1) , 2) и указать верные ответы:

1) а) ; б) ;

2) а) ; б)

3) Вычислить интегралы:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .