Пример 16.

Два стальных (Е = 2·10⁵ МПа) стержня, шарнирно соединенные в точке А, находятся под действием силы Р (рис. 2.33). Первый стержень имеет длинус и площадь поперечного сечения F, второй длину а и площадь - 2F.

1) Найти величины нормальных напряжений, действующих в стержнях.

2) Найти абсолютную и относительную деформации стержней.

Дано: Р = 130 кН, с = 1,5 м, а = 2 м, F = 12 см.

Рис.2.33 Рис.2.34

Решение.

Стержни прикреплены к стене и соединены между собой шарнирами (точках В, С и А). Шарниры предполагаются идеальными, т. е. такими, трение в которых отсутствует. Нагрузка Р приложена в узле А. Поэтому стержни будут испытывать только продольные (растягивающие или сжимающие) усилия, т.е. в поперечныхсеченияхстержней возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила N.

1. Для определения усилий рассмотрим равновесие узла А (рис. 2.34), к которому приложены нагрузка Р и два неизвестных усилия N₁, и N₂, действующие со стороны стержней АВ и АС и направленные вдольих осей.

При определении неизвестныхусилий в стержнях обычно принято считатьих растянутыми и соответственно этому направлять векторы сил от узла. Знак плюс в решении для усилия будет подтверждать правильность сделанного предположения о направлении усилия, а знак минус укажет на то, что в действительности усилие направлено противоположно и соответствующий стержень сжат.

Полагая оба стержня растянутыми, направим усилия N₁, и N₂ так,какпоказано на рис.2.34. Для плоской системы сил, пересекающихся в одной точке, как известноиз курса теоретической механики, можно составить только два независимых уравнения равновесия - в виде сумм проекции всех сил на две оси, не параллельные друг другу.

В качестве такихосей выберем оси Х и Y (рис. 2.34). Тогда уравнения равновесия представятся в виде:

;

. (1)

Из этой системы (1) можно было бы определить неизвестные усилия N₁, и N₂, если бы были известны значения и . Определим эти величины. Для этого рассмотрим данную стержневую систему (рис. 2.34). Из точки А опустим перпендикуляр АD на прямую ВС, получим два прямоугольных треугольника и .

Рис.2.35

Из треугольника ABD определим AD:

м.

Из треугольника ADG получим:

.

Теперь определим неизвестные усилия N₁, и N₂ из системы двух линейных уравнений (1). Перепишем уравнения в следующем виде:

;

.

Решим эту систему используя метод Крамера

.

.

.

2. Определим нормальные напряжения, действующие в стержнях.

Напряжения в стержнях определяются по формуле

.

Для первого стержня

,

для второго стержня

.

3. Найдем абсолютную и относительную деформации стержней.

Абсолютная деформация стержня длиной l равна:

.

Абсолютная деформация первого стержня

.

Абсолютная деформация второго стержня

.

Относительную деформацию определим из закона Гука

.

Относительная деформация первого стержня

,

Относительная деформация второго стержня

.