Электромагнитные волны оптического излучения

Опическое излучение - это электромагнитные волны с длиной волн от 1 мм до 1 нм. Внутри оптического диапазона волн выделяют видимое (свет с l=0,38мкм-0,78 мкм), инфракрасное (l= 0,78 мкм-1мм) и ультрафиолетовое (l= 1 нм-0,38 мкм) излучения.

Уравнения Максвелла являются основными уравнениями электродинамики, выражающие основные законы электромагнитного поля в произвольной неподвижной среде, которые для диэлектрических волноводов имеют вид:

(1)

Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода:

(2)

Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Е_z и H_z. Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду

.

Тогда, используя соотношение , а также учитывая, что divH=0, получим

,

где - волновое число световода.

Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим .

Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов E_z и H_z удовлетворяют уравнениям

Где - оператор Лапласа.

,

Тогда для продольных составляющих E_z и H_z в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:

(3)

Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е. , где А - любая составляющая векторов Е или Н; j - коэффициент распространения. Тогда первая и вторая производные определятся

.

Для составляющей Е_z

.

Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим

Введем обозначение - поперечное волновое число световода. Тогда для сердечника световода имеем

(4)

где (без учета затухания) - поперечное волновое число сердечника; k₁ - волновое число сердечника с коэффициентом преломления n₁, .

Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода - функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать

(5)

где А_n и В_n - постоянные интегрирования.

Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Е_r имеем

Возьмем производную от второго выражения по

Учитывая, что , а , то

Тогда

или

Подставим данное выражение в уравнение для Е_r

или

.

Окончательно получим .

Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля

В предыдущих материалах можно было пользоваться с достаточной степенью точности классической механикой и законами Нью­тона, поскольку шла речь исключительно о распо­ложении атомов в решетке. Квантовые представления оказались необходимыми лишь при обсуждении относительно тонких эф­фектов атомных колебаний. Атомы, если они рассматриваются как целое, достаточно велики, так что макроскопическая меха­ника Ньютона обычно вполне точно характеризует их поведение. Однако внутренняя структура атомов не описывается классичес­кими законами. Электроны, в частности, настолько малы по раз­мерам и массе, что обычная макроскопическая физика непримени­ма для описания их поведения; квантовая механика и является в какой-то степени результатом стремления понять эти электрон­ные процессы. Поскольку в последующих будут рассмат­риваться преимущественно электронные свойства твердого тела, следует хотя бы элементарно охарактеризовать основные поня­тия квантовой механики.