Волновые функции и уравнение Шредингера

Квантовую физику можно было бы развивать точио тем же методом, который был использован при рассмотрении неопреде­ленных траекторий на фиг. 7.2. Можно было бы построить график всех возможных траекторий, согласующихся с наборов началь­ных условий, заданных соотношениями неопределенностей, и на его основе предсказать приблизительное положение частицы в последующие моменты времени. Однако более удобным методом является введение с самого начала представления о вероятностном поведении частицы путем задания некоторой функции, называе­мой волновой и характеризующей вероятность местонахождения частицы. Затем выводится уравнение для этой функцйи. Истори­чески именно этот последний метод и был использован, а волновая функция была определена с помощью уравнения Шредингера. Обычно функция Ψ (х, t) определяется из выражения для плотности вероятности нахождения частицы в точке х в момент времени t

Плотность вероятности = Ψ* (x, t)•Ψ(x.t), (7.4)

В общем случае Ψ — величина комплексная. Так как вероятность должна быть величиной действительной, то для нахождения плотности вероятности необходимо умножить Ψ на комплексно сопряженную с ней функцию Ψ*(x,t) Поскольку Ψ* (х_, t) • Ψ(x.t)dx есть вероятность того, что частица находится в интер­вале от х до х+dх в момент времени t и поскольку вероятность нахождения частицы в какой-либо точке пространства в неко­торый момент времени t равна единице,

ʃ͚᷈ Ψ* (x, t)•Ψ(x.t)=1, (7.5)

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траек­торий, получаемых из законов Ньютона, и определив вместо это­го волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение урав­нение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для на­хождения Ψ в частных физических задачах. Как было упомянуто выше, искомым уравнением является уравнение Шредингера. В одномерном случае оно имеет вид

−h² ∂²Ψ(x,t) −h ∂Ψ(x,t)

▬▬ ▬▬▬ + V(x) Ψ(x.t)= ▬▬▬ ▬▬▬ , (7.6a)

8π²m ∂²x 2πi ∂t

где h — постоянная Планка, т — масса частицы, V{х) — потен­циальная энергия частицы в точке х. Уравнение (7.6 а) записано в одномерном представлении исключительно ради простоты. В трехмерном случае неизвестные являются функциями всех трех координат и д²Ψ/дх² заменяется выражением (д²Ψ/дх²) + (д²Ψ/дy²) + + (д²Ψ/дz²),

−h² −h ∂Ψ

▬▬ (д²Ψ/дх² + д²Ψ/дy² + д²Ψ/дz²) + V(x,y,z) Ψ= ▬▬▬ ▬▬▬ ,

8π²m 2πi ∂t

(7.6б)

Введением уравне­ния Шредингера слушатель может быть несколько смущен, буквально «с потолка» без какого-либо вывода. Исторически окончательной формулировке уравнения Шредин­гера предшествовал длительный период развития физики, однако оно действительно не было выведено. Это уравнение не может быть выведено из более простых представлений точно так же, как не могут быть выведены из каких-либо более простых законов и за­коны Ньютона. Уравнение Шредингера является, следовательно, просто «законом» физики, объясняющим физические явления. Если оно имеет смысл, оно должно приводить к правильному предсказанию экспериментальных данных. Уравнение Шредин­гера нельзя вывести и из законов Ньютона, поскольку предпола­гается, что уравнение Шредингера имеет силу в той области, в которой классические понятия вообще неприменимы. Квантовая теория не требует, однако, полного отказа от законов Ньютона, а лишь настаивает на отказе от абсолютной определенности в зада­нии начальных условий. Следовательно, уравнение Шредингера должно согласовываться с законами Ньютона в среднем. Более того, если размер и масса частицы становятся макроскопически­ми, предсказания квантовой и классической теорий совпадают друг с другом, потому что неопределенный путь частицы стано­вится весьма близким к однозначной траектории.

Если слушатель все еще имеет сомнения относительно истин­ного смысла термина «основной закон физики», напомним ему историческое развитие законов Ньютона. Они явились кульмннационным пунктом опытов Галилея по скатыванию шаров с наклонных плоскостей. Галилеи открыл закон, согласно которо­му шары, опускающиеся на некоторое расстояние по вертикали (даже если они при этом перемещались на различные расстояния по горизонтали), всегда достигают одинаковой скорости; он сумел даже сформулировать для этого случая второй закон Ньютона, введя понятие о силе, действующей на частицы. Ньютон позже понял, что закон, открытый Галилеем для частного случая, при­меним во всех случаях. Таким образом, второй закон Ньютона был выведен индуктивным методом из опытных данных.

Подобным же образом в первые годы нашего века ученые пришли к выводу, что между предсказаниями классической тео­рии и экспериментальными данными об атомной структуре су­ществует ряд расхождений. Наиболее примечательным из этих расхождений было открытие того факта, что физические системы квантуются. Постепенно в течение тридцатилетнего периода уче­ные осознали, наконец, все значение экспериментов. После того как многие исследователи объяснили отдельные трудности, Шредингер предложил свое уравнение в качестве окончательного объ­яснения атомной структуры с помощью представления о волно­вой функции Ψ(х,t).

Заключение