Принцип неопределенности Гейзенберга

Важнейшим физическим принципом квантовой механики яв­ляется принцип неопределенности. Фундаментальность этого за­кона можно понять на примере исследования простой задачи нью­тоновской механики. Рассмотрим снаряд, который начинает дви­гаться из начала координат с заданной скоростью и затем падает

Фиг. 7.1. Траектория снаряда, выброшенного из начала системы координат со скоростью V0.Траектория имеет вид перевернутой параболы

под действием силы тяжести. Законы Ньютона для снаряда имеют вид-'

F_у=mÿ = -mg, (7.1)

F_х — т̈х= О,

где т—масса частицы, а g — ускорение силы тяжести. Решения дифференциальных уравнений (7,1) являются простыми и обще­известными

y(t) = — 1/2 gt²- ẏо t+y0

x(t)= ẋо t + х₀. (7.2)

Положение снаряда в любой момент времени, т. е. х(t) и у{t), полностью определяется, если известны начальные условия х₀,ẋо, ẏо, yо и, следовательно, приведенное решение точно опреде­ляет единственную траекторию.

Квантовая механика накладывает определенные ограниче­ния на начальные условия этой задачи. Принцип неопределеннос­ти Гейзенберга гласит, что одновременное измерение начального положения и скорости какой-либо частицы не может быть прове­дено точно. Следовательно, единственную траекторию, изобра­женную на фиг. 7.1, согласно принципу неопределенности, оп­ределить невозможно, так как нельзя задать однозначные началь­ные условия. Траектория становится несколько «размытой», как это показано на фиг. 7.2. Поэтому наиболее полная информация о движении снаряда, которую можно получить, состоит в нахож­дении решений для всех траекторий, лежащих в пределах некото­рой области возможных значений начальных условий. Самое большее, что можно сказать о снаряде в каждый момент его поле­та,— это то, что он летит внутри некоторой области пространства и имеет скорость, величина которой заключена в некоторых пре­делах.

Ф и г. 7.2. Возможные траектории снаряда с неточно опреде-
ленными начальными условиями.

Этот пример выявляет основной смысл принципа неопреде­ленности и результат его использования, однако возможна более точная его формулировка. Принцип неопределенности Гейзенбер­га гласит, что в физике существуют такие пары переменных, при совместном определении которых неизбежно возникает конечная ошибка; количественно он записывается обычно в виде

( Δp ͓ ) ( Δx) ≥ h (7.3a)

Здесь импульс р_х и координата х являются двумя параметрами системы, которые связаны между собой принципом неопределен­ности; ( Δp ͓ ) и ( Δx) — неопределенности в измерении р_ж и х, а h — постоянная Планка (h=6,62•10^-84 дж•сек). Две переменные, если ©ни связаны соотношением типа (7.3 а), называются сопряженны­ми переменными. Наиболее известными сопряженными перемен­ными являются координата и импульс, а также энергия и время. Таким образом, можно записать

( Δp ͓ ) ( Δx) ≥ h

( Δp ᵧ ) ( Δy) ≥ h

( Δp z ) ( Δz) ≥ h (7.3)

( ΔE) ( Δt) ≥ h

Заметим, что принцип неопределенности записывается в виде про­изведения неопределенностей, а это произведение неопределен­ностей больше ил нравно постоянной Планка h. Ошибка в опреде­лении физической величины, налагаемая соотношением (7.3 б), является, таким образом, общим, или взаимным, свойством сово­купности двух переменных. Можно было бы, например, провести бесконечно точное измерение р, однако такое измерение обяза­тельно внесло бы соответственно большую неопределенность в измерение пространственного положения частицы.

Важная черта принципа неопределенности заключается в том, что он является сугубо физическим принципом: он никак не связан с особенностями измерительных приборов. При каждом реальном экспериментальном измерении, конечно, несовершен­ство измерительного прибора ведет к увеличению ошибки изме­рения. При измерении длины, например, измерение нельзя вы­полнить точнее некоторой определенной величины, поскольку деления шкалы на линейке можно считывать глазом лишь с неко­торой конечной точностью. При взвешивании какого-либо пред­мета трение в подшипниках весов накладывает ограничение на их чувствительность. Погрешности измерений такого типа можно, однако, уменьшить путем создания лучших по качеству измери­тельных устройств. В принципе всегда можно представить себе прибор в классической или макроскопической физике, который позволит производить измерение с любой конечной точностью. Действительно, в классической физике конструирование измери­тельной установки любой конечной точности определяется лишь тщательностью выполнения и стоимостью установки. Принцип же неопределенности относится к категориям другого рода. Его утверждение, что любое измерение содержит в себе «внутреннюю» ошибку, которая не может быть исправлена, не является следст­вием несовершенства измерительного прибора: соотношение неоп­ределенностей, следовательно, представляет собой теорему о принципиальной ограниченности возможностей измерительных устройств. Повторяем, невозможно создать измерительное уст­ройство, которое одновременно производило бы измерение коор­динат и скорости с точностью, большей, чем это допускает прин­цип неопределенности.

С точки зрения макроскопической физики принцип неопре­деленности представляется парадоксальным, и его значение вы­ясняется полностью только при рассмотрении элементарного акта измерения. Если измеряется координата частицы, то в самом про­цессе измерения обязательно должен содержаться какой-то меха­низм «захвата» частицы. Можно, например, рассеять на частице квант света, чтобы увидеть ее, или заключить ее в своего рода малый, жесткий ящик, положение которого в пространстве из­вестно. Однако такие процедуры столь сильно возмущают части­цу, что ее импульс оказывается уже не тем, каким он был до из­мерения координаты. Следовательно, если проделано два после­довательных измерения, сначала координаты частицы, а затем ее импульса, точность предшествующего измерения координаты теряется из-за «грубого» обращения с частицей при измерении ееимпульса.

Конечно, перинцип неопределенности приводит к значительным погрешностям в измерении физических величин только в микроскопической области. Например, неопределенность в измерении пеоложения массы 1 кг, ошибжа в определении скорости которой составляет 1 м/сек, равна приблизительно 10^-34м, т. е. расстоянию почти в 10²³раз меньшему, чем радиус электрона. Однако неоиределенность в измерении координаты электрона, движущегося по орбите атома водорода, имеет уже порядок 10^-10м, или периблизительно размер приписываемый обычно самому атому.