Рівняння прямій і площині

Рівняння прямої на площині в декартовії системі координат можна задати рівнянням виду

для випадку, коли пряма не паралельна осі OY, і рівнянням

для вертикальної прямої. Але пряма може бути також задана й іншим способом. Досить указати вектор напрямку цій прямій і якій-небудь крапці , що лежить на цій прямій. При цьому крапки, що лежать на прямій, можуть бути задані з використанням векторних операцій у вигляді так званого параметричного рівняння прямій

у якому параметр t пробігає всі значення числової прямої. Координати крапки, що відповідає деякому значенню цього параметра, визначаються співвідношеннями

(4.4)

Пряму в просторі теж можна задавати параметричним рівнянням, що дуже легко одержати з попереднім простим переходом від двовимірних векторів до тривимірного. Нехай . Тоді це рівняння буде визначати пряму в просторі, а координати крапок цій прямій будуть визначатися формулами

(4.5)

Як відомо з елементарної геометрії, через будь-які три крапки в просторі проходить площина. З іншого боку, через кожну крапку площини можна провести єдину пряму, перпендикулярну даної площини. При цьому всі ці прямі будуть паралельні один одному, а виходить, вони мають загальний вектор напрямку. Цей вектор будемо називати нормаллю до площини. Якщо довжина вектора дорівнює одиниці, ми будемо називати його одиничною нормаллю. У комп'ютерній графіці часто доводиться вирішувати завдання побудови нормалі до деякої площини, заданої трьома крапками, а також завдання перетинання прямій із площиною й двох площин.

Площина в просторі можна задати, указавши вектор нормалі до неї і яку-небудь крапку, що належить даної площини. Нехай - вектор одиничної нормалі, а - деяка крапка на площині. Тоді для будь-якої крапки , що лежить на площини, вектор буде ортогонален вектору нормалі, а отже, виконується рівність

Розкриваючи це вираження в координатному виді, одержуємо

Тепер перепишемо це рівняння у вигляді

(4.6)

де . Це рівняння називається канонічним рівнянням площини. При цьому зовсім ясно, що якщо все це рівняння помножити на який-небудь відмінний від нуля множник, то воно буде описувати ту ж саму площину, тобто коефіцієнти для кожної площини задаються з точністю до довільного ненульового множника. Але якщо при цьому вектор має одиничну довжину, то задає відстань від початку координат до даної площини.

В алгоритмах комп'ютерної графіки досить часто доводиться зіштовхуватися із завданням побудови площини, що проходить через три задані крапки. Нехай три крапки , і , що не лежать на одній прямій, мають координатами й . Для канонічного рівняння необхідно побудувати нормаль до площини, що легко можна здійснити, використовуючи операцію векторного добутку. Оскільки вектори й лежать у шуканій площині, то вектор буде ортогонален цієї площини. Нехай , тоді рівняння площини буде мати вигляд

Залишається визначити значення . Тому що крапка належить цій площині, те її координати повинні задовольняти отриманому рівнянню. Підставимо їх у рівняння й одержимо

отже

і після підстановки остаточно одержимо:

(4.7)

У більшості алгоритмів, що використовують площини, досить знати нормаль до неї і яку-небудь крапку, що належить площини. Очевидно, що за аналогією можна вивести канонічні рівняння прямої на площині, якщо задано нормаль до неї й приналежній прямій крапка.