Перетинання лучачи із площиною й сферою

Пряма на площині й у просторі є нескінченною в обидва боки. Променем називається напівпряма, тобто безліч всіх крапок прямій, що лежать по одну сторону від заданої її крапки, називаної початком лучачи. Промінь будемо задавати в параметричному виді, як це було описано в одному з попередніх розділів. Нехай - напрямний вектор прямій, а - початкова крапка. Тоді координати крапок лучачи будуть визначатися формулами

(4.8)

Будемо вважати, що напрямний вектор одиничний, тобто .

Спочатку розглянемо завдання про знаходження крапки перетинання лучачи із площиною, заданої канонічними рівнянням

(4.9)

Вектор нормалі теж будемо вважати одиничним. Спочатку треба визначити значення параметра t, при якому промінь перетинає площина. Для цього підставимо координати з формули (4.8) у рівняння (4.9) і одержимо

звідки легко визначити, що промінь перетинає площина в крапці зі значенням

Очевидно, що така крапка існує тільки за умови . У свою чергу, ця величина звертається в нуль тільки у випадку, коли вектори й ортогональні один одному.

Нехай тепер нам задана сфера із центром у крапці й радіусом . Тоді рівняння сфери буде мати вигляд

Підставивши сюди координати лучачи з рівняння (4.9), одержимо, що параметр, при якому промінь перетинає сферу, повинен задовольняти квадратному рівнянню

де . Визначимо корінь цього рівняння. Якщо дискримінант , то корінь існують. Їх може бути або два , або один . У першому випадку маємо дві крапки перетинання, у другому - одну (промінь стосується сфери). Відповідні значення параметра визначаються співвідношенням