Спектральное и временное представление непериодических колебаний.

Представление периодических колебаний в виде ряда Фурьедопускает сделать обобщение, позволяющее получить спектральные характеристики непериодических сигналов.

Исследуя формулы (22) и (23) можно сделать вывод, что при увеличении длительности импульса, начальное значение А₀ возрастает. При уменьшении t_u все происходит наоборот. Спектр одиночного прямоугольного импульса, в отличие от периодической последовательности, является сплошным и бесконечным. Форма спектра описывается функцией вида .

Для того чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения Т.

При этом очевидно:

- частоты соседних гармоник пw₁ и (п+1) w₁ окажутся сколь угодно близкими, так что дискретную переменную пw₁ можно заменить непрерывной w - текущей частотой;

- амплитудные коэффициенты А_п станут неограниченно малыми из-за величины Т в знаменателе формулы (23). Т.е. амплитуды составляющих будут накладываться друг на друга. Спектр амплитуд должен преобразовываться в спектральную плотность амплитуд А(w). Поэтому задача состоит в том, чтобы определить, как изменится ряд Фурье (22) при Т®¥. Для этого преобразуем выражение (10) с учетом, что Т®¥, а А_п определяется в соответствии с (23).

Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, дискретную сумму S следует заменить интегралом.

Таким образом:

,

(24)

где - комплексная спектральная плотность амплитуд, а - сам сигнал U(t), выраженный через комплексную спектральную плотность амплитуд.

Полученные выражения называют парой интегральных преобразований Фурье. Область интегрирования определяется временем существования конкретной непериодической функции. Метод спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Часто математическая модель сигнала U(t), заданная во временной области сложна и недостаточно наглядна. В то же время описание этого сигнала в частотной области посредством функции U(w) может оказаться простым. Однако, гораздо важнее другое. Спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем.

Рассмотрим на конкретных примерах спектральное разложение непериодических колебаний.

Пусть сигнал U(t) представляет собой прямоугольный видеоимпульс с известными параметрами Е, t_и и располагается симметрично относительно начала отсчета времени t=0 (рис. 10).

Рис. 10. Временная диаграмма прямоугольного видеоимпульса

Известно, что

,

(25)

Спектральная плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты.

Модуль функции А(w) равен

,

(26)

Выражение (26) есть амплитудный спектр одиночного прямоугольного импульса, график которого представлен на рис. 11а.

Рис. 11. Спектры амплитуд (а) и фаз (б)

Аргумент функции (25) есть фазовый спектр, он представлен на рис. 11б. Таким образом, при увеличении длительности импульса расстояние между нулевыми значениями спектра сокращается, а начальное значение А(0) возрастает. При укорочении импульса все происходит наоборот. Спектр одиночного прямоугольного импульса, в отличие от спектра периодической
последовательности является сплошным. Спектр является теоретически бесконечным. Форма спектра описывается функцией вида .