Некоторые свойства преобразований Фурье. Равенство Парсеваля.

Мы с Вами знаем, что интегралы вида

и

представляют собой парой интегральных преобразований Фурье, устанавливающих однозначное соответствие между сигналом и его спектром.

Рассмотрим основные свойства преобразований Фурье.

1. Сдвиг сигналов во времени.

,

т.е. задержим сигнал на время t₀. Этот сигнал будет существовать от t₁+t₀ до t₂+t₀, тогда

.

Введем новую переменную интегрирования τ=t-t₀. Имеем

Таким образом сдвиг во времени приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину .

Модуль спектра от положения сигнала на оси времени не зависит, так как модуль комплексно числа при любых t₀ равен «1», поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих спектра не зависят от его положения на оси времени.

2. Сжатие сигнала во времени.

(если «к» меньше 1 то сигнал растягивается, в противном случае – сжимается во времени).

.

3. Свойства вещественной и мнимой частей спектра.

После подстановки в формулу обратного преобразования Фурье

Функция s(t) после такого двухкратного преобразования останется вещественной только при

Это возможно только в том случае, если А(ω) является четной функцией, а В(ω) – нечетной, т.е. А(ω) = А(-ω); В(ω) = - В(-ω).

4. Сложение сигналов.

Так как сумма интегралов равна интегралу суммы, то

5. Произведение двух сигналов.

Имеем

(изменение порядка интегрирования)

Интеграл в квадратных скобках представляет собой спектральную плотность функции f(t) при частоте (ω - х), т.е. F(j(ω-x)).

Следовательно

И так, спектр произведения двух функций времени равен интегральной свертке их спектров.