Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Некоторые свойства преобразований Фурье. Равенство Парсеваля.




Мы с Вами знаем, что интегралы вида

и

представляют собой парой интегральных преобразований Фурье, устанавливающих однозначное соответствие между сигналом и его спектром.

Рассмотрим основные свойства преобразований Фурье.

1. Сдвиг сигналов во времени.

,

т.е. задержим сигнал на время t0. Этот сигнал будет существовать от t1+t0 до t2+t0, тогда

.

Введем новую переменную интегрирования τ=t-t0. Имеем

Таким образом сдвиг во времени приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину .

Модуль спектра от положения сигнала на оси времени не зависит, так как модуль комплексно числа при любых t0 равен «1», поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих спектра не зависят от его положения на оси времени.

2. Сжатие сигнала во времени.

(если «к» меньше 1 то сигнал растягивается, в противном случае – сжимается во времени).

.

3. Свойства вещественной и мнимой частей спектра.

После подстановки в формулу обратного преобразования Фурье

Функция s(t) после такого двухкратного преобразования останется вещественной только при

Это возможно только в том случае, если А(ω) является четной функцией, а В(ω) – нечетной, т.е. А(ω) = А(-ω); В(ω) = - В(-ω).

4. Сложение сигналов.

Так как сумма интегралов равна интегралу суммы, то

5. Произведение двух сигналов.

Имеем

(изменение порядка интегрирования)

Интеграл в квадратных скобках представляет собой спектральную плотность функции f(t) при частоте (ω - х), т.е. F(j(ω-x)).

Следовательно

И так, спектр произведения двух функций времени равен интегральной свертке их спектров.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-05; просмотров: 136; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты