Примеры решения задач. Пример 1. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где –постоянный вектор,

Пример 1. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где –постоянный вектор, – положительная постоянная. Найти:

а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени;

б) промежуток времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку, путь , который она пройдет при этом, среднюю и среднюю путевую скорости за время движения.

Р е ш е н и е. Найдем скорость и ускорение частицы:

, (2)

.

Из условия задачи следует, что в начальный момент времени радиус-вектор . Это означает, что для нахождения времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку, радиус-вектор в этот момент времени надо приравнять нулю

.

Откуда следует, что

.

Для нахождения пути , пройденного частицей, воспользуемся формулой (1). Напомним, что под знаком интеграла стоит модуль скорости частицы. Из выражения (2) следует, что вектор скорости частицы совпадает по направлению с вектором до того момента времени , когда скорость частицы станет равна нулю. Это время, как следует из (1), равно

.

После этого, вектор скорости изменит свое направление на противоположное, т.е.

при <

и

при > .

Таким образом, путь, пройденный телом, будет равен:

.

После подстановки и , получаем

.

Надо отметить, что в данной задаче путь, пройденный частицей, можно вычислить иначе. Действительно, поскольку частица, двигаясь по прямой (вдоль вектора ) вернулась в исходную точку, путь будет равен

,

где – длина радиус-вектора в момент времени , т.е.

.

Вектор перемещения частицы за все время движения равен нулю (по условию задачи она вернулась в исходную точку), поэтому средняя скорость равна нулю. Средняя путевая скорость за все время движения равна

.

Пример 2. Точка движется в плоскости по закону , , где и – положительные постоянные. Найти:

а) уравнение траектории материальной точки ;

б) величины скорости и ускорения точки в зависимости от ;

в) момент времени , когда угол между скоростью и ускорением равен .

Р е ш е н и е. а) Для нахождения уравнения траектории исключим из уравнений, приведенных в условии задачи время :

,

.

б) Определим проекции скорости на оси ОХ и :

,

,

и рассчитаем модуль скорости

.

Аналогичным образом рассчитаем величину ускорения:

,

,

.

в) Для нахождения времени воспользуемся скалярными представлениями произведения вектора скорости и вектора ускорения:

.

С другой стороны

.

Таким образом:

.

После подстановки значения угла и преобразования этого выражения получаем

.

Пример 3. Частица движется по дуге окружности радиуса по закону , где – смещение из начального положения, отсчитываемого вдоль дуги, А и – постоянные. Найти полное ускорение частицы в точках: а) ; б) .

Р е ш е н и е. Определим зависимость величины скорости от времени:

.

По определению тангенциальное и нормальное ускорения соответственно равны:

,

.

Таким образом, при полное ускорение равно:

,

а при :

.

Пример 4. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону , где – положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь , она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Р е ш е н и е. Пусть точка движется в положительном направлении оси . За начало отсчета координаты примем точку старта. Поскольку движение замедленное, т.е. <0, модуль ускорения равен

.

По условию задачи

. (3)

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение (3), надо разделить переменные

,

а затем проинтегрировать правую (в пределах от начальной скорости – нижний предел интегрирования, до скорости точки в произвольный момент времени – верхний предел интегрирования) и левую (в пределах от нуля до ) части этого уравнения. Таким образом,

.

Решая это уравнение, находим зависимость скорости точки от времени

.

Так как в момент остановки скорость тела равна нулю, получаем

.

Путь пройденный телом, можно найти, воспользовавшись уравнением

.

После подстановки в это уравнение , получаем

.

Этот способ нахождения пути не единственный. Вернемся к уравнению (3). Умножим и разделим левую часть этого уравнения на

,

т.к. , получаем

.

При интегрировании этого уравнения учтем, что в момент остановки и , тогда, решая уравнение

,

получим:

.

Видно, что второй способ нахождения пути проще, чем первый.

Пример 5. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент скорость точки равна . Найти зависимости:

а) скорости точки от времени и от пройденного пути ;

б) полного ускорения от скорости и пройденного пути.

Р е ш е н и е. а)По условию задачи . Учитывая, что движение замедленное, запишем

. (4)

Разделив переменные,

и решая полученное дифференциальное уравнение

,

найдем зависимость скорости от времени

.

Для нахождения зависимости скорости от пройденного пути, умножим и разделим левую часть уравнения (4) на приращение дуговой координаты

,

т.к. , получим дифференциальное уравнение

решая которое,

,

найдем зависимость скорости от пройденного пути

. (5)

б) Полное ускорение точки равно . Учитывая, что по условию задачи , найдем зависимость полного ускорения от скорости

.

Подставляя в это выражение (5), определим зависимость полного ускорения от пройденного пути

.

Пример 6.Частица движется в одну сторону по траектории, представленной на рис. 2 с тангенциальным ускорением , где – постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью ОХ, а – единичный вектор, связанный с частицей и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты . Найти скорость частицы в зависимости от , если в точке ее скорость равна нулю.

Р е ш е н и е. По определению

,

то есть

,

где – угол между вектором и вектором ( см. рис. 3). Вектор – единичный вектор, поэтому . Умножим и разделим левую часть этого уравнения на приращение дуговой координаты

,

откуда получаем

.

Но , тогда

.

Интегрируя это уравнение,

,

найдем зависимость скорости частицы от координаты

.

Пример 7. Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение , а нормальное ускорение , где и – положительные постоянные, – время. В момент точка покоилась. Найти зависимости от дуговой координаты радиуса кривизны траектории точки и ее полного ускорения .

Р е ш е н и е. Найдем зависимости скорости и дуговой координаты точки от времени, учитывая, что в начальный момент точка покоилась. Будем считать, что в точке старта значение дуговой координаты равно нулю. Учитывая, что

, и ,

получим

и

. (6)

По условию задачи

,

откуда

.

Подставляя в это уравнение и значение , найденное из (6), определим зависимость радиуса кривизны траектории от дуговой координаты

.

Найдем полное ускорение

.

Подставляя , получим зависимость полного ускорения от дуговой координаты

.