Примеры решения задач. Пример 1.Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где и – положительные постоянные

Пример 1.Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где и – положительные постоянные. Найти:

а) зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени;

б) угловое ускорение в момент остановки;

в) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от до остановки.

Р е ш е н и е. а) Используя определения угловой скорости и углового ускорения, найдем

, (5)

. (6)

б) Найдем угловое ускорение в момент остановки В этот момент времени угловая скорость будет равна нулю. Из уравнения (5) следует, что

.

Подставляя это значение в (6), получим

.

в) Средней угловой скоростью называется отношение угла поворота тела ко времени , за которое произошел этот поворот

.

Аналогично, среднее угловое ускорение равно:

,

где – изменение угловой скорости за время . Таким образом, для тог чтобы найти значение средней скорости за время движения , надо найти угол, на который повернется твердое тело за это время. Подставляя в уравнение зависимости угла поворота от времени , найдем угол поворота тела к моменту остановки

.

Так как в начальный момент времени угол , получаем

.

Для определения среднего значения углового ускорения, найдем изменение угловой скорости за это время. Так как в начальный момент (см. (5)), а в конечный , получаем

.

Пример 2.Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где – положительная постоянная. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол с ее вектором скорости .

Р е ш е н и е. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все

точки тела движутся по окружностям. Вектор скорости произвольной

точки А тела будет направлен по касательной к окружности, вдоль которой движется эта точка рис 3.

Полное ускорение точки А равно

,

где и – тангенциальное и нормальное ускорения соответственно. Направление ускорений показано на рис. 6. Видно, что угол между вектором полного ускорения и вектором скорости – это угол между вектором полного и тангенциального ускорений. Как видно из рисунка,

. (7)

Найдем зависимость угловой скорости от времени. По условию задачи , тогда

.

Разделив переменные

и интегрируя правую и левую части этого уравнения, с учетом того, что в начальный момент времени угловая скорость равна нулю

,

получим зависимость угловой скорости от времени

.

Подставляя в уравнение (7) зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени, получим

,

откуда

.

Пример 3.Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг горизонтальной оси . В некоторый момент времени ось начали поворачивать вокруг вертикальной оси с постоянным угловым ускорением . Найти зависимости угловой скорости и углового ускорения тела от времени.

Р е ш е н и е. В данной задаче твердое тело совершает сложное движение – одновременное вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей. Пусть направления вращения будут такими, как показано на рис. 7. Вокруг оси тело вращается с постоянной по величине угловой скоростью . Величина угловой скорости вокруг оси меняется со временем по закону

,

и угловое ускорение не меняется с течением времени. Направление угловых скоростей показано на рис. 7. Результирующее движение тела будет происходить с угловой скоростью , являющейся векторной суммой двух взаимно перпендикулярных скоростей и

, (8)

поэтому величина угловой скорости равна

.

Мы получили зависимость угловой скорости вращения тела от времени.

По определению угловое ускорение тела равно

,

или с учетом уравнения (8)

.

Вектор – это вектор углового ускорения , направленного вдоль оси в туже сторону, что и вектор , так как по условию задачи тело вдоль этой оси вращается равноускоренно.

Вектор , оставаясь постоянным по модулю, меняет свое направление в пространстве, поворачиваясь вокруг оси с угловым ускорением . Модуль его приращения за промежуток времени (см. рис. 7) равен

,

где – угол поворота вектора вокруг оси за это время. Разделив правую и левую части этого уравнения на , получим

.

Вектор приращения направлен перпендикулярно вектору и лежит в плоскости, перпендикулярной оси , поэтому вектор углового ускорения направлен перпендикулярно вектору . С учетом вышесказанного модуль углового ускорения зависит от времени по закону

.

Пример 4.Точка находится на ободе колеса радиуса , которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью . Положение точки на ободе задано углом (рис. 8). Найти: а) величину скорости точки ; б) полный путь , проходимый точкой между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.

Р е ш е н и е. а) Скорость точки найдем двумя способами.

Для решения задачи первым способом введем две системы отсчета. Неподвижную систему свяжем с горизонтальной поверхностью, а систему – с центром колеса. Система движется поступательно относительно системы со скоростью . В системе колесо вращается вокруг оси, проходящей через точку . Скорости точек, лежащих на ободе колеса, в системе направлены по касательной к окружности и имеют одинаковую величину скорости. Для нахождения величины этой скорости рассмотрим точку . Скорость этой точки в системе отсчета можно найти, воспользовавшись правилом преобразования скоростей,

,

где – скорость точки в системе (см. рис. 9а). Однако, по условию задачи колесо катится без проскальзывания, поэтому . С учетом этого получаем

.

Таким образом, величина скорости всех точек, лежащих на ободе колеса, в системе равна скорости , т.е. .

Для нахождения скорости точки воспользуемся правилом преобразования скоростей

.

или

.

Для нахождения величины скорости вторым способом, воспользуемся тем, что плоское движение твердого тела можно свести к чисто вращательному движению вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку (рис. 8), т.к. скорость этой точки в данный момент времени равна нулю. Это означает, что угловые скорости точек и одинаковы или

,

где – длина стороны . Треугольник прямоугольный, поэтому . Таким образом, величина скорости точки равна

.

б) Путь , пройденный точкой между двумя последовательными моментами ее касания поверхности, найдем, воспользовавшись формулой (см. раздел “Кинематика материальной точки”)

. (9)

Точка в системе отсчета (см. рис. 9а) за время переместилась на расстояние , равное

.

С другой стороны, за это время прямая , жестко связанная с колесом, повернулась на угол , поэтому

,

т.е.

,

или

.

Подставляя это выражение в (9) и учитывая, что угол меняется в пре-

делах от до , найдем искомый путь

.

Пример 5.Вращающийся диск (рис. 10) движется в положительном направлении оси . Найти уравнение , характеризующее положение мгновенной оси вращения, если в начальный момент ось диска находилась в точке и в дальнейшем движется с постоянной скоростью , а диск раскручивается без начальной угловой скорости с постоянным угловым ускорением .

Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.

П е р в ы й с п о с о б. Проведем прямую линию перпендикулярную оси и проходящую через точку (пунктирная линия на рис. 10). Мгновенная ось вращения должна проходить через точку, лежащую на этой прямой. Это обусловлено тем, что прямая, соединяющая мгновенную ось вращения с любой точкой диска, а значит и с точкой , и скорость этой точки взаимно-перпендикулярны. Из этого можно сделать вывод, что координаты точки и мгновенной оси вращения одинаковы. Исходя из этого и учитывая условия задачи, получим зависимость координаты мгновенной оси вращения от времени

. (10)

Для нахождения зависимости координаты мгновенной оси от времени введем вспомогательную систему отсчета , жестко связанную с точкой диска (на рис. 10 эта система не показана). Пусть точка это точка, через которую проходит мгновенная ось вращения. Тогда вектор скорости этой точки относительно системы равен

,

где – скорость точки в системе . По определению скорость равна нулю, поэтому

,

т.е. скорость точки в системе имеет направление противоположное направлению скорости точки в системе . Таким образом, учитывая направление вращения диска, мы приходим к выводу, что координата точки должна быть положительной, как показано на рис. 10. Величина скорости равна

,

где – угловая скорость вращения диска в данный момент времени, равная (см. условие задачи). Отсюда следует, что

. (11)

Исключая время из уравнений (10) и (11), находим уравнение траектории, характеризующее положение мгновенной оси вращения

.

В т о р о й с п о с о б. Напомним, что векторное произведение двух векторов и равно

.

Выберем на диске произвольную точку (рис. 11), положение которой в системе задается вектором равным,

,

где – радиус-вектор этой точки в системе , а – радиус-вектор точки в той же системе отсчета, или в проекциях на координатные оси

, ,

.

Чтобы точка была расположена на мгновенной оси вращения, должны выполняться условия . Тогда, как следует из последнего уравнения,

.

Исключая из этих выражений время , получим уравнение траектории движения мгновенной оси вращения

.