Пример 5. Найти скорость и ускорение точки в любой момент времени, используя условие примера 2.

Найти скорость и ускорение точки в любой момент времени, используя условие примера 2.

Решение.Находим скорость:

, , ,

,

, ,

, , ,

Находим ускорение: ,

,

Ответ. , .

Пример 6.Точка движется по дуге окружности радиуса по закону . Определить скорость точки в момент времени и .

Решение.Движение задано естественным способом. Примем за начало отсчета точку О, считая направление движения по часовой стрелке положительным. Находим дуговые координаты точки в заданные моменты времени:

, .

Положение точек и на траектории покажем с помощью углов (рис. 6): , .

Находим величины скорости в заданные моменты времени: ,

, . Так как , , то векторы скоростей будут направлены в сторону возрастания S по касательной к траектории (рис. 6).

Ответ. , .

Пример 8. При отходе от станции поезд, двигаясь равноускоренно по закруглению радиуса 900 м, за время достиг скорости . Определить путь, пройденный поездом и его полное ускорение.

Решение.За начало отсчета примем положение поезда в момент отхода от станции (рис. 7). Начальные условия движения: , .

, , , .

Ответ. ,

Пример 9.Поезд движется со скоростью . При торможении ускорение равно . Найти время и путь торможения.

Решение. При начальных условиях движения имеем , : , . Так как поезд остановился, то , тогда . .

Ответ. , .

Пример 10.Определить ускорение точки через 2 с после начала движения из состояния покоя, если движение задано уравнениями: , .

Решение. Находим проекции скорости и ускорения на координатные оси:

, , . ,

, , , .

Ответ. , ,

Пример 11.Перейти к естественному способу задания движения, если заданы уравнения движения точки в координатной форме: а) , б) .

Решение.Для естественного способа задания необходимо знать:

1. Траекторию.

2.Закон движения.

3.Начало отсчета.

4.Положительное направление движения.

1. Траекторию движения определим, исключая время из уравнений движения а), б):

из а) ; из б) . Откуда получим или . Траектория представляет собой прямую линию (рис. 8), ограниченную точкой .

2. Закон движения находим по следующей формуле: , где , , .

3. Начало отсчета находим из уравнений движения, подставив в них время, равное нулю: , .

4. Положительное направление движения определим, подставив в уравнение движения время, равное 1с: , .