УУН для сети постоянного тока

Расчет установившегося режима является ключевым моментом, поскольку он фигурирует практически во всех задачах ЭЭС. Поэтому для понимания математической специфики УУН важно, хотя бы раз, самостоятельно составить эту систему уравнений. Ниже представлен вывод УУН для сети постоянного тока. Самостоятельно повторить эту процедуру лучше на конкретной схеме. Содержащей 3 - 4 узла.

Рассмотрим сеть постоянного тока. Пусть узел i связан с узлами m, j, k (рис. 2.1). Согласно первому закону Кирхгофа . Принимая во внимание, что , получаем .

С целью математического обобщения предположим, что узел i связан не только с узлами m, j, k, но и с остальными узлами связями с нулевыми проводимостями. В этом случае баланс токов в узле можно записать в виде

,

где n+1 – число узлов в расчетной схеме.

В результате раскрытия скобок и разбиения суммы получается система уравнений

.

(2.1)

Взятая со знаком минус сумма проводимостей всех ветвей, связанных с рассматриваемым узлом, называется собственной проводимостью узла

Принимая во внимание данное соотношение, а также симметричность проводимостей , систему УУН можно представить в виде

.

(2.2)

Сумма левых частей всех уравнений системы (2.2) равна нулю. Это следует из представления собственной проводимости и характерно для любой расчетной схемы, а не только для рассмотренной. Действительно, коэффициент при в левой части суммы уравнений

согласно определению собственной проводимости

.

Сумма токов в правой части также равна нулю, как следствие первого закона Кирхгофа для замкнутой системы, объединяющей все узлы. Отсюда система уравнений является линейно-зависимой - одно из уравнений является минус суммой всех остальных. Такая система уравнений не имеет однозначного решения. Чтобы избавиться от линейной зависимости, в системе (2.2) исключается одно уравнение. Узел, которому соответствует исключаемое уравнение, называется балансирующим.

В качестве балансирующего, как правило, принимается узел, где реально возможно автоматическое поддержание баланса токов, например, узел связи между энергосистемами или частото-регулирующая электростанция. Важно помнить, что в расчетной схеме должен существовать балансирующий узел.

После исключения одного уравнения оказывается, что система содержит n уравнений с n+1 неизвестными. Система имеет бесконечно большое число решений. При задании напряжения в одном из узлов напряжения в остальных узлах определяются однозначно. Узел, в котором задано напряжение, называется базисным.

В реальных ЭЭС нетрудно выделить базисный узел. Как правило, в качестве базисного принимается узел, представляющий электростанцию, где установлена автоматика поддержания напряжения на заданном уровне.

С целью упрощения математических выражений желательно, чтобы базисный и балансирующий узлы совпадали. Практически это реализуемо, поскольку реально существуют электростанции, одновременно регулирующие и баланс мощности и напряжение. В дальнейшем этому узлу присваивается последний порядковый номер (n+1).

В результате система УУН получает вид

или

.

(2.3)

Она также может быть представлена в матричном виде

,

(2.4)

где Y – матрица проводимостей, - соответственно вектора напряжений, узловых токов и проводимостей на базу:

; ; ; .

Резюмируя, можно сформулировать основные закономерности при формировании УУН:

· В качестве неизвестных в системе уравнений рассматриваются напряжения узлов.

· Ток в правой части уравнений записывается со знаком «плюс», если он нагрузочный (выходит из узла) и со знаком «минус», если он генерирующий (входит в узел).

· Уравнение, записанное для i-го узла определяет баланс токов в этом узле.

· Коэффициент при U_i в уравнении i (собственная проводимость) равен взятой со знаком минус сумме проводимостей всех ветвей, смежных этому узлу. Коэффициенты при остальных напряжениях узлов в уравнении i равны проводимостям ветвей, соединяющих соответствующий текущий узел с узлом i.

Рис. 2.2 .Пример электрической сети

В качестве примера рассмотрим формирование уравнения баланса токов в четвертом узле электрической схемы, изображенной на рис. 2.2. Данный узел связан с узлами 1, 3 и 6 (базовый). Собственная проводимость, соответствующая рассматриваемому узлу Y₄₄=-(Y₄₁₊ Y₄₃₊ Y_4б)=-6. Узел 4 связан с базовым узлом, отсюда
Y_4б·U_б =10. Узловой ток здесь является генерирующим, поэтому в правой части он представляется со знаком минус. В результате, четвертое уравнение системы УУН имеет вид

В числовом представлении

.

Читателю предлагается самостоятельно записать остальные 4 уравнения узловых напряжений.