Понятие о матрицах и матричных операциях

В данном разделе кратко приводятся основные понятия о матрицах, их характеристиках и свойствах. Предполагается, что читатель уже имел с ними дело в курсе высшей математики.

Матрица Апорядка (n,m) - это прямоугольная таблица чисел или других элементов {a_ij}, расположенных в n строках и m столбцах.

Числа n, m определяют размерность (dim A) матрицы.

Как правило, для обозначения матриц используются прописные буквы латинского алфавита, с возможным указанием размерности: А; B_n,m; . При необходимости элементного обозначения используются скобки: квадратные (см. выше), круглые, двойные прямые. Кроме того, используются индексные элементные обозначения, например матрица ||a_ij||, i=1,...,n; j=1,...,m или (a_ij, i=1,...,n, j=1,...,m).

Транспонированная матрица А^t получается из исходной А заменой местами строк и столбцов (строка i матрицы А^t совпадает со столбцом i матрицы А)

Частные случаи:

Матрица-строка [z₁,z₂,...,z_n]; матрица-столбец (х₁, х₂,...,х_n)^t; квадратная матрицаn=m; симметричнаяматрица А = А^t ;кососимметричная матрица А = -А^t , диагональная матрица – такая, у которой все недиагональные элементы равны нулю; единичная матрицаЕ- это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице; ортогональнаяматрица А^t=А^-1, нулевая матрица– матрица, у которой все элементы равны нулю.

Нижняя и верхняя треугольные матрицы характеризуются тем, что у них все элементы соответственно над или под главной диагональю равны нулю, например,

и .

Блочная матрица – матрица, элементы которой являются также матрицами, например,

.