Свойства обратной матрицы

1. Определитель обратной матрицы отличен от нуля. Произведение определителей исходной и обратной матрицы равно единице, Det(А)·Det(А^-1)= 1.

2. Матрица, обратная по отношению к А^-1, совпадает с исходной, (А^-1)^-1 = А

3. Обратная матрица единственна, т.е. если для матрицы А различными методами найдены матрицы В1 и В2, обладающие свойствами обратной, то В1 = В2

4. Обратная матрица может быть вычислена через матрицу алгебраических дополнений Δ

, соответствующую

согласно выражению .

Отсюда для получения обратной матрицы методом алгебраических дополнений (один из возможных методов) можно сформулировать следующий алгоритм.

a) Вычислить определитель, .

b) Сформировать матрицу, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение соответствующего элемента исходной матрицы: .

c) Транспонировать матрицу алгебраических дополнений.

d) Каждый элемент транспонированной матрицы умножить на коэффициент .

Пример. Исходная матрица . Найти обратную матрицу по приведенному правилу и доказать, что она обратная.

Решение:

Определитель исходной матрицы ,

Матрица алгебраических дополнений Δ=

Транспонированная матрица алгебраических дополнений Δ^t= ,

Обратная матрица .

Проверка(при ручных расчетах рекомендуется делать всегда, как только будет получена обратная матрица).

Если — обратная, то справедливо выражение .

A = .

Получена единичная матрица, следовательно, расчет выполнен правильно