КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Матричная запись линейных УУНЗаписанная в матричной форме система УУН для сети постоянного тока имеет вид (2.4) , для сети переменного тока все представленные в этом уравнении величины являются комплексными
Однако, как это было отмечено ранее, в практических расчетах предпочтение отдается действительной системе линейных уравнений. В прямоугольной системе координат УУН имеют вид (2.14)
Данную блочную форму системы УУН интересно получить путем матричных преобразований. Принимая во внимание соотношения выполняются следующие матричные преобразования Разделяя действительную и мнимую составляющие, получаем Используя блочную запись матриц, эту систему можно представить в виде (3.5) . 3.4. Прямые методы решения СЛУ Методы решения СЛУ можно разделить на две группы: Прямые методы. Вектор неизвестных определяется за определенное количество операций, число которых может быть определено заранее. Для решения СЛУ достаточно найти матрицу А-1 и представить решение в форме: . Итерационные методы. Здесь вычисляется последовательность `X(1),`X(2), ...`X(k) приближений переменных к решению, начиная от некоторого`X(0),так что предел стремится к решению : . Итерационные методы нашли широкое применение для решения систем нелинейных уравнений. Для систем линейных уравнений они используются редко. Здесь чаще используются специализированные прямые методы. Теорема Кронекера – Капелли Для того чтобы система линейных уравнений являлась разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Формулы Крамера Решение системы линейных уравнений может быть получено через расчет определителей.
где Δ - определитель матрицы , -определитель матрицы, полученной заменой столбца k матрицы коэффициентов на столбец свободных членов . Доказательство представленного выражения представляет интерес как один из приемов работы с массивами. Умножим каждое уравнение i СЛУ на и просуммируем все уравнения . Обратим внимание, что правая часть представляет . В левой части уравнения выполним замену порядка суммирования Поскольку для всех j¹k (скалярное произведение столбца j на алгебраические дополнения другого столбца k), получаем: , что и требовалось доказать . Формула Крамера находит широкое применение для ручных расчетов СЛУ относительно небольшого (2-3) порядка. 3.5. Метод Гаусса Наибольшее распространение для решения систем уравнений получил метод Гаусса. Основная идея его заключается в последовательном исключении переменных и постепенном переходе к эквивалентной системе уравнений с треугольной матрицей коэффициентов. Решение полученной системы не представляет проблем. Исключение Гаусса рассмотрим на системе из трех уравнений
Выразим из первого уравнения системы значение переменной х1 и подставим это выражение во второе и третье уравнения системы: В результате второе и третье уравнения уже не содержат х1: что можно представить в виде Аналогично выразим х2 из второго уравнения и подставим это выражение в третье уравнение системы: Окончательно система (3.7) преобразуется к виду : Таким образом, за n-1 шагов исходная система линейных уравнений преобразуется к системе уравнений с верхней треугольной матрицей. Это прямой ход исключения Гаусса. Решение преобразованной системы уравнений с верхней треугольной матрицей, называется обратным ходом решения системы по Гауссу. .
|