Расчет передаточной функции и частотных характеристик цепи

Динамические свойства линейных устройств можно описать передаточной, переходной или импульсной характеристиками, которые, в свою очередь, описывают поведение цепей (устройств) соответственно в частотной и временной областях. При этом оба представления совершенно равносильны и взаимно дополняют друг друга, а переход от одного к другому осуществляется с помощью прямого и обратного преобразования Фурье и Лапласа. Частотные и временные характеристики удобно определять с помощью операторного метода. Для этого находят передаточную функцию цепи.

Передаточная функция линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами W(s) равна отношению преобразования Лапласа Y(s) реакции цепи y(t) к изображению Х(s) входного воздействия x(t), вызвавшему эту реакцию, при нулевых начальных условиях: W(s) = Y(s) / Х(s) = (b_m s^m + b_m–1 s^m–1 + … +b₀)
/ (a_n sⁿ + a_n–1 s^n–1 + … + a₀). При этом условно предполагают, что в схеме действует один источник. Передаточная функция представляет собой аналитическую дробно-рациональную функцию комплексного аргумента s = s + jw, где m и n — степени (порядок) полиномов числителя и знаменателя (m £ n). Вид полиномов B(s) и A(s) и их коэффициенты зависят от структуры цепи и параметров ее элементов.

Если требуется определить частотные характеристики цепи, переходят от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, приняв s = jw, и получают комплексную передаточную функцию (коэффициент передачи) W( jw) = Y( jw) / X( jw) = Y_m( jw) / X_m( jw), определяемую как отношение комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) электрических величин на выходе и входе цепи в заданном режиме работы. Размерность комплексного коэффициента передачи W( jw) определяется схемой и соотношением реакций цепи и входного воздействия. Так, например, передаточная функция по напряжению равна W_U ( jw) = U_вых / U_вх и является безразмерной величиной.

В общем виде W( jw) можно представить в виде отношения двух комплексных полиномов в алгебраической или показательной форме:

W(jw) = b(jw)/a(jw) =

= [B₁(w) + jB₂(w)] / [A₁(w) + jA₂(w)] =

= exp[ j arctg (B₂ /B₁)] / exp[ j arctg(A₂ /A₁)]} =

= B(w) exp [ jy_B(w) ] /{A(w) exp [(jy_A(w)]} =

= [B(w) /A(w)] exp j[y_B(w) – y_A(w)] = W(w) exp [jj(w)],

где B₁(w) = Re [b( jw)], А₁(w) = Re [a( jw)], B₂(w) = Im [b( jw)], А₂(w) = Im[a( jw)], W(w) = B(w) / A(w) — модуль передаточной функции, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); j(w) = y_B(w) – y_A(w) — аргумент передаточной функции, или фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Передаточная функция может быть представлена также в виде суммы двух полиномов: W( jw) = P(w) + jQ(w) = ´
´ exp [ jarctg(Q/P) = W(w) exp [ jj(w)], где Р(w) — вещественная, а Q(w) — мнимая частотные характеристики. Но этот путь более трудоемкий, особенно при определении знака ФЧХ.

При расчете ФЧХ следует помнить, что если значение действительной части комплексного полинома отрицательно, то вектор на комплексной плоскости расположен или во второй ее четверти, или в третьей — это зависит от знака мнимой части комплексного полинома: при положительном — во второй, при отрицательном — в третьей.

Для обозначения передаточных функций используют также и другие обозначения, например K( jw), H( jw).

При определенном значении w = w_k комплексная передаточная функция W( jw_k) представляет собой вектор на комплексной плоскости s = s + jw и характеризуется амплитудой W(w_k) и фазой j(w_k). При изменении частоты w амплитуда и фаза вектора W( jw) будут изменяться, а его конец будет описывать на плоскости кривую, представляющую собой амплитудно-фазовую характеристику. Геометрическое место точек на комплексной плоскости, соответствующих концу вектора комплексной передаточной функции W( jw) при изменении частоты от нуля до бесконечности, называется годографом (амплитудно-фазовой характеристикой).

Частотные характеристики позволяют косвенно, т.е. без решения дифференциальных уравнений, описывающих схему (систему), судить о прохождении сигнала, об устойчивости схемы и ряде других показателей качества, а также определить ее реакции на гармоническое воздействие. При подаче на вход сигнала x(t) установившаяся гармоническая величина на выходе определяется произведением входной функции на комплексный коэффициент передачи, т.е. Y( jw) = W( jw) X( jw), откуда |Y | = W(w)|X |, y_y = y_x +
+ j(w), где y_x — начальная фаза гармонического воздействия.

Пример 4. Для схемы четырехполюсника (см. рис. 2) найти выражение передаточной функции по напряжению при разомкнутых выходных зажимах. Построить амплитудно-частотную, фазочастотную характеристики и годограф.

Решение. Для определения передаточной функции составим уравнение цепи: u_вх = Ldi/dt + Ri + u_вых или в операторной форме (независимые начальные условия нулевые) U_вх(s) = sLI(s) +
+ RI(s) + U_вых(s). Так как I(s) = U_вых(s) / (1/sC) = sCU_вых(s), то
U_вх(s) = s²LCU_вых(s) + sRCU_вых(s) + U_вых(s). Тогда операторная передаточная функция будет иметь вид W_U(s)=U_вых(s) /U_вх(s) = 1 /
/ (s ²LC + sRC + 1) = (1 / LC)[1 / (s ² + (R / L)s + 1 / (LC))]. Введем обозначения: 1 / LC = , R / (2L) = d. В соответствии с обозначениями W_U (s) = / (s² + 2ds + ). Характеристическое уравнение s² + 2ds + = 0 имеет корни s_1,2 = – d = – R/(2L) ±
± . При R = 0 (d = 0) s_1,2 = ± j = ± jw₀, где w₀ = — частота незатухающих колебаний.

Комплексную передаточную функцию легко получить из операторной при замене s на jw: W( jw) = / [( - w²) + j2d]. Полином знаменателя запишем в показательной форме: W( jw) =
= /{ exp [–jarctg 2d/( - w²)]} = W(w)exp [ jj(w)]. Отсюда W(w) = / = 1/ — АЧХ, j(w) = - arctg [2d/( - w²)] = - jarctg [wRC/(1 – w²LC)] — ФЧХ.

Пусть в схеме (см. рис. 2) заданы параметры: R = 50 Ом, L =
= 250 мГн, С = 80 мкФ. Запишем выражения операторной и комплексной передаточных функций с учетом численных значений коэффициентов: W_U(s) = 5×10⁴/(s² + 200s + 5×10⁴), W( jw) = 5×10⁴ /
/ [(5×10⁴ – w²) + j 200w. Отсюда АЧХ и ФЧХ: W(w) = 5×10⁴ /
/ j(w) = - arctg [200w / (5×10⁴ – w²)].

По полученным выражениям АЧХ и ФЧХ рассчитаем их значения в контрольных точках для фиксированных частот w_k (0; w/10; w/2; w; 3w; 5w) и w₀, где w = 10³ — частота источника гармонических колебаний. Они равны: w = 0, W(0), j(0) = 0;
w = 100 с^–1, W(100) = 1,2; j(100) = –26,5°; w = w₀ = 100 с^–1, w = 1000 с^–1, W(1000) = 0,0121; j(1000) = -168°. На рис. 11 построены АЧХ, ФЧХ и годограф.

Рис. 11

Пример 5. Для схемы четырехполюсника (рис. 12) определить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению.

Рис. 12

Решение. Определяем W(jw) = U₂ /U₁ = j0,5wLI / U₁ = j0,5wLU₁ /
/{U₁ [jwL + R/(jwC) / [R + 1/( jwC)]} = j0,5wL/[jwL + R/(1 + jwRC)] =
= j0,5wL(1 + jwRC)/[ jwL/(1 + jwRC) + R] = j0,5wL(1+ jwRC) / [(R –
– w²RLC) + jwL]. Записываем комплексные полиномы числителя и знаменателя W(jw) в показательной форме:

W( jw) = [0,5wL exp( jp/2)]{ exp [ jarctg (wRC)]} /
/{ exp [jarctg (wL / (R – w²RLC ))]}.

Отсюда АЧХ W(w) = 0,5wL / , а ФЧХ j(w) = p/2 + arctg(wRC) – arctg [wL/(R – w²RLC)] = p/2 +
+ j₁(w) + j₂(w).

Частотные характеристики изображены качественно на рис. 13. В зависимости от параметров элементов схемы W(w) может иметь вид 1 или 2. Следует обратить внимание на выражение для j₂(w): для w >1/ значения числителя и знаменателя функции arctg будут отрицательными, и в этом диапазоне частот электрические углы следует определять по формуле j₂(w) =
= –p + arctg [wL / (w²RLC – R)] = –p + arctg(wL / | R – w²RLC |).

Рис. 13