Порядок расчета. 1. Пронумеровать узлы электрической схемы и принять потенциал одного из узлов (базисного) равным нулю

1. Пронумеровать узлы электрической схемы и принять потенциал одного из узлов (базисного) равным нулю, т. е. условно заземлить его.

2. Составить систему уравнений относительно потенциалов незаземленных узлов в соответствии с системой уравнений (12)

3. Решая полученную систему уравнений, найти потенциалы узлов.

4. Определить токи в ветвях по закону Ома.

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться в том случае, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Пример 8. Найти токи в ветвях схемы на рисунке 8 методом узловых потенциалов.

Дано:E₁ = 8 В, E₃ = 6 В, E₄ = 12 В, J₃ = 3 А, J₄ = 4 А, R₁ = 3 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 6 Ом, R₄ = 5 Ом.

Решение. Обозначим цифрами узлы схемы и примем потенциал базисного узла 3 равным нулю. Составим систему уравнений относительно неизвестных потенциалов φ₁ и φ₂ узлов 1 и 2:

где G₁₁ = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ = 0,75 См;

G₂₂ = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₄ = 0,783 См;

G₁₂ = G₂₁ = – (1/R₁ + 1/R₂) = – 0,583 См;

= – E₁/R₁ – E₃/R₃ + J₃ = – 0,667 См;

= E₁/R₁ + E₄/R₄ – J₄ = 1,067 См.

Решая полученную систему уравнений, найдем потенциалы узлов:

φ₁ = 0,404 В, φ₂ = 1,663 В.

Сопоставляя значения потенциалов узлов с ЭДС ветвей, найдем значения и направления токов (укажем их стрелками) ветвей схемы по закону Ома:

Если какая-либо ветвь электрической цепи имеет только идеальный источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю, то напряжение между узлами, к которым присоединена эта ветвь, будет равно этой ЭДС. В этом случае целесообразно в качестве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви.

Можно также избавиться от этой особой ветви, произведя эквивалентные преобразования схемы путем переноса источника ЭДС через узел.

Пример 9. Определить токи в ветвях электрической цепи (схема на рисунке 2) методом узловых потенциалов, если E₄ = 12 В, E₆ = 8 В, J₇ = 4 A, R₁ = 10 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ = 6 Ом, R₅ = 4 Ом, R₆ = 7 Ом, R₈ = 5 Ом.

Решение.Электрическая схема содержит ветвь с идеальным источником ЭДС Е₄, которая подключена к узлам 3 и 4. Перенесем эту ЭДС через узел 4 и включим в ветви с сопротивлениями R₁ и R₈ источники ЭДС E₁ = E₄ и E₈ = E₄ соответственно (рис. 9). Потенциалы узлов 1, 2, 3 и 5 при этом не изменятся, а потенциал узла 4 станет равен потенциалу узла 3. Примем равным нулю потенциал узла 5 и запишем систему уравнений для расчета

потенциалов узлов 1, 2 и 3:

Решив систему уравнений, найдем искомые потенциалы узлов:

φ₁ = 2,228 В; φ₂ = – 1,712 В; φ₃ = 0,723 В.

Переходя к исходной схеме на рисунке 10, определяем потенциал узла 4:

φ₄ = φ₃ + Е₄ = 12,723 В.

Далее, применяя закон Ома, находим токи в ветвях:

Ток I₄ по закону Ома вычислить нельзя, поэтому его значение найдем по первому закону Кирхгофа для узла 4: I₄ = I₁+ I₈ = 3,595 А.

Проверим правильность результатов расчета токов по балансу электрических мощностей.

Напряжение U_J на полюсах источника тока равно потенциалу узла 3:

U_J = φ₃ = 0,723 В.

Мощность источников энергии

Р_ист = E₄I₄ + E₆I₆ + U_JJ = 53,216 Вт.

Мощность нагрузки

P_нагр =

Относительная погрешность результатов расчета:

Пример 11.Обратимся к схеме на рис. 11. Схема имеет три узла и шесть ветвей. Если один узел схемы, например узел 1, мысленно заземлить, т. е. принять , то необходимо будет определить потенциалы только двух узлов . Для единообразия в обозначениях условимся, что проводимости ветвей будем снабжать двумя индексами, номерами узлов, к которым подключена ветвь.

В соответствии с обозначениями токов составим уравнения по первому закону Кирхгофа для второго узла:

I₁ – I₂ + I₃ + I₄ = 0,

или

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

(14)

Здесь: ;

;

.

Обсудим структуру уравнения (14). Множителем при в нем является коэффициент G₂₂, равный сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся ко второму узлу. Проводимость G₂₃ равняется сумме проводимостей ветвей, соединяющих узел 2 с узлом 3, взятой со знаком «минус» (в нашем случае проводимость одной ветви). Ток I₂₂ называется узловым током второго узла. Это расчетная величина, равная алгебраической сумме токов, полученной от деления ЭДС ветвей, подходящих к узлу 2, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «плюс» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлены к узлу 2.

Подобное уравнение может быть записано и для 3 узла схемы. Если схема имеет y узлов, то ей соответствует система (y – 1) уравнений вида

(15)

где G_kk – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k; G_km – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и m, взятая со знаком «минус»;

I_kk – узловой ток k узла.

Если к k – узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток I_kk со знаком «плюс», если утекает, то со знаком «минус».

Если между какими – либо двумя узлами нет ветвей, то соответствующая проводимость равна нулю. После решения системы уравнений (15) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

Формула двух узлов. Очень часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод, получивший название метода двух узлов.

Под методом двух узлов понимают метод расчета электрической цепи, в котором за искомое (через него определяют затем токи ветвей) понимают напряжение между двумя узлами схемы.

Расчетные формулы этой схемы непосредственно следуют из более общего метода – метода узловых потенциалов.

Напряжение между двумя узлами может быть найдено

(16)

После того как напряжение U_ab будет найдено, определяется ток в любой ветви по формуле:

I_k = (± E_k ± U_ab) ∙ g_k.

Пример 12.Найти токи в схеме рис. 12, если E₁ = 120 В, E₃ = 50 В, R₁ = 2 Ом, R₂ = 4 Ом , R₃ = 1 Ом, R₄ = 10 Ом