![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Переходные процессы в электрических цепяхПроцессы перехода электрической цепи из одного установившегося состояния в другое называются переходными процессами. Они возникают в результате каких-либо переключений в цепи (коммутаций). Характер протекания переходных процессов зависит от параметров элементов цепи, схемы их соединения и начальных условий. Рассмотрим, например, подключение простейшей цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R и катушки с индуктивностью L, к источнику постоянной ЭДС Е (рис.3.8). Рисунок 3.8.
Токи и напряжения в цепи установятся не сразу, т.е. будут являться функциями времени. Их называют мгновенными значениями. Процесс в такой цепи после замыкания ключа К однозначно определяется II законом Кирхгофа, записанным для мгновенных значений, т.е. уравнением:
где
В результате подстановки получим неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
Как известно, решение такого уравнения состоит из двух слагаемых:
где
Когда процесс в цепи установится, то в случае подключения цепи к источнику постоянной ЭДС постоянным (установившимся) будет и ток. Поэтому при i =const , получим di/dt = 0, UL = L (di/dt) =0. Это означает, что в установившемся режиме напряжение на индуктивности равно нулю, и, следовательно, для определения составляющей iпр можно составить расчетную модель (рис.3.9), в которой индуктивность закорочена (выброшена и заменена сопротивлением z =0). Поэтому расчет по этой модели дает: Рисунок 3.9.
Для нахождения общего решения однородного уравнения Получим:
откуда имеем один вещественный отрицательный корень
где A – неизвестная постоянная интегрирования дифференциального уравнения;
t – текущее время от начала коммутации (от момента включения), измеряемое в секундах. Складывая принужденную и свободную составляющие тока, получим:
Осталось определить постоянную А. Она определяется из начальных условий. Возникает естественный вопрос о том, что использовать в качестве известного начального условия. На интуитивном уровне понятно, что нужно использовать нечто такое, что было в цепи непосредственно до коммутации (момент t = 0- ) и, что в момент непосредственно после коммутации (момент t = 0+ ) не изменилось скачком, т.к. в полученном выражении (3.59) время t исчисляется от момента t = 0 = 0+, т.е. от момента непосредственно после коммутации. Для электрических цепей в качестве такой величины может служить энергия, запасенная в электрических и магнитных полях тех устройств, которые содержаться в цепи. Такой выбор обусловлен тем, что энергия полей не может меняться скачком. Принимая во внимание, что энергия магнитного поля катушки индуктивности равна:
получим
Отсюда и получаем
т. е.
Условие (3.60) выражает собой первый закон коммутации: ток в индуктивности не может изменяться скачком. Поэтому, кстати, при размыкании ветвей с индуктивностью между контактами выключателя в момент включения образуется искра (электрическая дуга), поддерживающая начальное значение тока. Аналогично можно получить второй закон коммутации: напряжение на емкости не может изменяться скачком:
Условия (3.60) и (3.61) называют независимыми начальными условиями, т. к. все остальные начальные условия определяются по известным независимым условиям и уравнениям Кирхгофа, составленным для цепи. Возвращаясь к рассматриваемой задаче устанавливаем, что цепь (рис. 3.8) содержит индуктивность. Следовательно, в качестве независимого начального условия нужно использовать значения тока в индуктивности непосредственно до коммутации. До коммутации цепь была разомкнута, следовательно:
В соответствие с (3.60) получаем:
Подстановка этого условия в (3.59) дает (t = 0):
Наконец, подставляя найденное значение постоянной А в (3.59), получим:
По уравнению (3.62) можно построить график (рис. 3.10) переходного процесса для тока в цепи. Рисунок 3.10.
Отметим, что кривая, описываемая уравнением (3.62), называется экспонентой, характерным свойством которой является то, что она теоретически бесконечно долго приближается к своему установившемуся значению Предположим, что нам нужно установить начальное значение напряжения на индуктивности. Это начальное значение является зависимым. Поэтому воспользуемся исходным уравнением, записав его для момента
поэтому В то время, как до коммутации ( цепь отключена от источника) мы имели
Напряжение на индуктивности меняется в момент коммутации скачком от нуля до значения ЭДС цепи. Нетрудно и определить
График, построенный по (3.63) имеет вид, представленный на рис.3.11. Напряжение на индуктивности имеет вид импульса. Из графика, кстати, видно, что Рисунок 3.11.
Рассмотренный метод расчета называется классическим. Существует много других методов, однако, все они основаны на использовании тех идей и закономерностей, которые вошли в суть классического метода. При этом очевидно, что при рассмотрении переходных процессов в сложных цепях решению подлежит система дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений. Рассмотрим в качестве примера составление системы уравнений для расчета переходного процесса в цепи, изображенной на рисунке 3.12, где e(t) – в общем случае произвольная ЭДС. Рисунок 3.12.
Система уравнений имеет вид:
![]() Поскольку в цепи протекает единый переходной процесс, то можно рассчитать процесс для какой-либо одной переменной, выразив все другие переменные через нее. Выберем, например, в качестве исходной переменной напряжение на емкости uс, тогда: § по (3.67) имеем § по (3.65) имеет § по (3.64) получим § подстановка в (3.66) дает:
Решение дифференциального уравнения (3.68) позволит определить uc(t) и затем найти все остальные переменные. Поскольку (3.68) – дифференциальное уравнение 2-го порядка, то его характеристическое уравнение всегда будет иметь два корня. При этом возможны следующие варианты: 1) корни вещественные разные р1 и р2:
2) корни вещественные кратные, т.е. р1 = р2 =р:
3) корни комплексно-сопряженнные р1,2 =δ Очевидно, что при e(t) = E = const e’(t) = 0 и тогда uс.пр = Е, а
Для определения двух постоянных в любом из вариантов нужно знать uс(0) и Если до коммутации конденсатор не был заряжен, то uс(0)=uс(0+)=uс(0-)=0. Кроме того, iз(0) = iз(0+) = iз(0-)=0. По (3.65) находим: По (3.64) находим: По (3.67) находим: Подставляя соответствующие выражения для uс.св (в зависимости от вида корней характеристического уравнения) для момента времени t = 0 и найденные начальные условия в уравнения (3.69), определим неизвестные постоянные интегрирования и получим решение для uс(t), а затем по установленным связям найдем i1(t), i2(t), i3(t) и, при необходимости, В заключение отметим, что практически все объекты электротехники, радиотехники, электроники и системотехники работают в режиме переходных процессов. Поэтому понимание их сути и подходов к анализу очень важно для современного инженера.
|