Методы общего анализа линейных электрических цепей

Важным вопросом этого раздела является расчет распределения токов в сложных линейных цепях с несколькими источниками. Классическим методом расчета таких цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим сложную электрическую цепь (рис. 4), которая содержит 6 ветвей. Если будут заданы величины всех э.д.с. и сопротивлений, а по условию задачи требуется определить токи в ветвях, то мы будем иметь задачу с шестью неизвестными. Такие задачи решаются при помощи законов Кирхгофа. В этом случае должно быть составлено столько уравнений, сколько неизвестных токов.

Порядок расчета:

1. Если цепь содержит последовательные и параллельные соединения, ее упрощают, заменяя эти соединения эквивалентными.

2. Произвольно указывают направления токов во всех ветвях. Если принятое направление тока не совпадает с действительным, то при расчете такие токи получаются со знаком «минус».

3. Составляют (n-1) уравнений по первому закону Кирхгофа (n-число узлов).

4. Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа, при этом обход контура можно производить как по часовой стрелке, так и против нее. За положительные э.д.с. и токи принимаются такие, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Направление действия э.д.с. внутри источника всегда принимают от минуса к плюсу (см. рис. 4).

5. Полученную систему уравнений решают относительно неизвестных токов. Составим расчетные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис. 4. Выбрав произвольно направление токов в ветвях цепи, составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и с:

(1)

Приняв направление обхода контуров по часовой стрелке, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для трех произвольно выбранных контуров:

для контура adkba

(2)

для контура bacldkb

(3)

для контура bmncab

(4)

Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), определяем токи в ветвях электрической цепи.

Легко заметить, что решение полученной системы из шести уравнений является весьма трудоемкой операцией. Поэтому при расчете сложных электрических цепей целесообразно применить метод контурных токов(метод ячеек), который позволяет уменьшить число уравнений, составляемых по двум законам Кирхгофа, на число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа. Следовательно, число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно m-n+1. При решении методом контурных токов количество уравнений определяется числом ячеек. Ячейкой будем называть такой контур, внутри которого отсутствуют ветви. В нашем случае таких контуров-ячеек три: badkb, aclda, и mncabm.

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов ведется следующим образом:

1. Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаемся направлением этих токов в ячейках. Удобнее все токи указать в одном направлении, например по часовой стрелке (рис. 5).

2. Составляем для каждого контура-ячейки уравнение по второму закону Кирхгофа. Обход контуров производим по часовой стрелке:

первый контур:

(5)

второй контур:

(6)

третий контур:

(7)

3. Решая совместно уравнения (5), (6), (7), определяем контурные токи. В этом случае когда контурный ток получается со знаком «минус», это означает, что его направление противоположно выбранному по схеме.

4. Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. В том случае, когда контурные токи в ветви совпадают, берут сумму, а когда направлены навстречу - из большего тока вычитают меньший.

5. Токи во внешних ветвях схемы равны по величине соответствующим контурным токам.

Задача 1. Рассчитать сложную цепь постоянного тока для схемы, изображенной на рис. 5. Задано: Определить токи в ветвях цепи.

Решение. Используя уравнения (5), (6) и (7), получаем:

Выразив через :

и произведя соответствующие подстановки, получаем:

Совместное решение полученных уравнений дает:

Определяем токи в ветвях:

;

;

;

;

Задача 2. Определить токи и составить баланс мощностей для схемы, изображенной на рис. 6. Дано: .

Решение. Схема содержит шесть ветвей (m=1) и четыре узла (n=4). число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно , так как в схеме имеется источник тока, ток которого может быть принят равным контурному току. Зададимся произвольным направлением контурных токов как показано на рис. 6. Там же нанесен известный контурный ток источника тока I. Составим систему уравнений для первого и второго контуров:

Подставляя числовые значения и решая эти уравнения, найдем контурные токи:

Искомые токи будут равны:

Составляем баланс мощностей:

Подставляя числовые значения, получим:

Метод наложения, основанный на принципе суперпозиции, позволяет свести расчет разветвленной цепи с несколькими источниками к нескольким расчетам этой же цепи, но с одним источником.

Порядок расчета:

1. Поочередно рассматривают действие в цепи только одного источника, а все остальные источники исключаются (остаются только их внутренние сопротивления).

2. Рассчитывают токи в ветвях от действия каждого источника.

3. Алгебраическим суммированием находят токи в ветвях от действия каждого источника в отдельности.

Метод является особенно эффективным при расчете токов от изменения величины только одного источника.

На практике часто используются цепи, в которых параллельно включены несколько источников энергии и приемных устройств. Такие цепи удобно анализировать с помощью узлового напряжения (напряжения между двумя узлами).

Задача. Найти токи цепи (рис.7) и показание вольтметра, если

Решение. Изобразим схему в ином виде (рис.8): Найдем узловое напряжение (показание вольтметра):

Токи в ветвях определяются по закону Ома: