Символический метод расчета.

Пусть некоторая электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС и т.д.) изменяется по синусоидальному закону . В прямоугольной системе координат (рис. 3.12) расположим под углом вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде (причем, y> 0, если отсчитывается против часовой стрелки).

Представим себе, что вектор с момента t = 0 начинает вращаться вокруг начала координат в положительном направлении с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте w. А его проекция на ось ординат будет равна мгновенному значению величины v. Таким образом, между мгновенным значением v(t) и вектором можно установить однозначное соответствие. На этом основании будем называть вектор вектором, изображающим функцию времени, иобозначать . Конечно, эти векторы, имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве (скорость, силу и др.). Поэтому такие изображения функции времени называют символическими.

Если считать ось абсцисс осью вещественных величин, а ось ординат – осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу с модулем и аргументом y. Это комплексное число называют комплексной амплитудой.

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений и расчетов электрической цепи.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы y всех комплексных значений уменьшить или увеличить на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называют исходным вектором.

Теоремы символического метода

1. Об однозначном соответствии символического изображения данной тригонометрической функции: . Это было показано выше: , где .

2. О линейном преобразовании: если , то , т.е. .

3. О сумме: если , то . Следствие:

. Следует отметить, что в правой части складываются векторы по правилам векторной алгебры.

4. О производной: если , а , тогда , т.е. взятие производной во временной области означает умножение вектора на jwв комплексной области или поворот вектора на : .

5. Об интеграле: если , а , то , т.е. интегралу функции во временной области соответствует деление вектора на jwв комплексной области или поворот вектора на угол .

Таким образом, символический метод позволяет свести дифференциальные уравнения, которыми описываются цепи переменного тока, к виду алгебраических уравнений. Полученное таким образом решение можно затем перевести во временную область.