Метод контурных токов.

Метод контурных токов требует совместного решения меньшего числа независимых уравнений по сравнению с методом узловых и контурных уравнений (применением двух законов Кирхгофа, § 2.11), что сокращает расчеты. Он основан на применении второго закона Кирхгофа.

Рис 2.24 К расчету цели методом контурных токов.

Для расчета токов в заданной цепи (рис. 2.24) выберем контуры, как и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. На рис 2 24 выбраны элементарные контуры (ячейки) и для каждого из них произвольно выбрано положительное направление тока, замыкающегося в этом контуре — контурного тока.

Для каждого контура составим уравнение по второму закону Кирхгофа, причем направление обхода контура принимаем совпадающим с направлением контурного тока. Если цепь можно представить разбитой на ячейки (нет пересекающихся проводов), то число независимых уравнений по второму закону Кирхгофа как раз равно числу ячеек. После решения этих уравнений определяются все контурные токи.

Контуры обозначим римскими цифрами (рис. 2.24), а каждый контурный ток отметим индексом, соответствующим своему контуру. Токи а ветвях отмечены индексами своих ветвей (арабскими цифрами). Токи в ветвях, которые являются общими для двух контуров, определяются как алгебраические суммы соответствующих контурных токов, например I₄=I_I—I_III. В остальных ветвях токи равны контурным, например, I₃=I_III

Алгебраическую сумму ЭДС в контуре называют контурной ЭДС. Со знаком плюс записываются ЭДС, действующие в направлении контурного тока, со знаком минус — направленные встречно.

Рассмотрим применение этого метода для цепи (рис. 2.24), которая имеет три контура — ячейки, для которых можно составить независимые уравнения по второму закону Кирхгофа: контур из 1-й и 4-й ветвей с контурным током I_I и контурной ЭДС E_I=E₁, контур из 2-й и 5-й ветвей с контурным током I_II и ЭДС Е_II=-E₂, контур из 4-й, 5-й и 3-й ветвей с контурным током I_III и ЭДС E_III=0.

Выбрав и показав на схеме положительные направления контурных токов, составим для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа. Для первого контура

(2.43)

так как контурный ток I_t проходит по обоим сопротивлениям контура, а на сопротивлении r₄ есть падение напряжения от тока I_III, который направлен навстречу обходу контура. Поэтому второе слагаемое записано со знаком «—».

Для второго контура

(2.44)

и для третьего контура

(2.45)

.

Сумма сопротивлений ветвей, входящих в контур, называется собственным сопротивлением контура. Например, собственные сопротивления контуров I и III: r_III=r₃+r₄+r₅.

Сопротивление ветви, входящей в два контура, называется общим сопротивленнем этих контуров. Например, для контуров I и III общее сопротивление r_{I III}=r₄.

Таким образом, контурное уравнение содержит произведение тока в контуре на все сопротивления контура и произведения токов других контуров на общие сопротивления.

Подставив в записанные уравнения численные значения сопротивлений и ЭДС и решив их совместно, найдем контурные токи I_II, I_II, I_III. Токи в ветвях цепи: I₁ =I_I, I₂ = – I_II, I₃=I_III, I₄=I_I-I_III, I₅=I_III- I_II.

Для цепи рис. 2 23 нужно составить контурные уравнения только для контуров I и II, так как ток I_III = —I_к, а ток источника тока, как и другие параметры цепи (сопротивления, ЭДС), считаются заданными