Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Свойства логарифмов




Читайте также:
  1. II.4. Классификация нефтей и газов по их химическим и физическим свойствам
  2. V. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЯ ВРЕМЕНИ
  3. А. Свойства и виды рецепторов. Взаимодействие рецепторов с ферментами и ионными каналами
  4. Алгоритм. Свойства алгоритма. Способы описания алгоритма. Примеры.
  5. Алгоритмы, их свойства и средства описания
  6. Аналитические свойства степенных рядов (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость)
  7. Анизотропия горных пород по электрическим свойствам
  8. БИЛЕТ 24. Понятие и свойства надежности
  9. Билет №8. Закон распределения системы случайных величин. Функция и плотность двумерной случайной величины и их свойства.
  10. Биомеханические свойства и особенности строения ОДА человека

Учебное пособие

Редактор Т.Г. Тарасова

Подписано к печати 20.03 2012. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл. печ. л. 9,3.

Тираж 45 экз. Заказ № 3002.

 

РИО ЧКИ РУК

428025, Чебоксары, пр. М.Горького, 24

 

 

 

 

 

Математические понятия.

Цель этого приложения — дать общее представление о ма­тематических понятиях, используемых при изучении курса, а также для расчетов при выполнении лабораторных работ.

 

ЛОГАРИФМЫ

Определение 1. Пусть а и b — положительные действитель­ные числа (b ≠ 1). Показатель степени р, в которую нужно возвести b, чтобы получить а, называется логарифмом числа а по основанию b. Символ logba = p означает, что bр = а.

Пример А. 1. Поскольку 23 = 8, 1оg2 8 = 3.

Пример А.2. Поскольку 8⅔ = 4, 1оg8 4 =⅔.

Пример А.З. Поскольку 10 – 2 =0,01, lоg10 0,01 =-2.

Пример А.4. Найдем b, если 1оgb 9 = 2.

Решение:

Из определения 1 следует, что b2 = 9, поэтому b = 3.

(Замечание: b = – 3 тоже является решением уравнения b2 = 9, но по определению основание должно быть положительным.)

Пример А.5. Найдем х, если 1оg10 x = – 1/2.

Решение:

x = 10 –1/2 = 1/ √10

Требование отличия основания логарифма от 1 необходимо в определении, потому что 1 в любой степени есть 1. Кроме того, поскольку любая степень положительного числа есть поло­жительное число, логарифм отрицательных чисел не определен. Логарифм нуля также не определен.

На практике обычно используются две системы логариф­мов — натуральные логарифмы и десятичные логарифмы. Деся­тичные логарифмы имеют основание 10, а натуральные — число е. (Число е — это иррациональное число, приблизительно равное 2,718. Определение числа е будет дано в разделе, по­священном пределам.). Для того чтобы каждый раз не указы­вать величину основания логарифмов, мы не будем пользоваться индексами и будем обозначать, как принято, loge х и 1оg10x соответственно 1n х и lg х.

Свойства логарифмов

1. logb x + logby = logb(xy).

2. logb x – logby = logb(x/y).

3. k logb x = logb(xk).

4. blogbx = x.

5. logax = (logab) ∙ logbx.



Поскольку 1n10 ≈2,3026 (т.е. натуральный логарифм 10 приблизительно равен 2,3026), по свойству 5 имеем

 

ln x ≈ 2,3026 1g х.

 

Любое число, выраженное в виде десятичной дроби, может быть записано в «стандартной» форме как произведение целой степени 10 и числа между 1 и 10. Так, например, 0,002 = 2 ∙ 10 – 3; 352 = 3,52 ∙ 102; 4,32 = 4,32 ∙ 100.

Благодаря свойству логарифмов 1

1g 0,002 = 1g 2 + 1g 10 – 3 = 1g 2 – 3;

lg 352 = lg 3,52 + lg 102 = lg 3,52 + 2;

lg 4,32 = lg 4,32 + lg 100 = lg 4,32 + 0.

Эти замечания иллюстрируют общее положение, согласно которому всякий десятичный логарифм можно выразить в виде суммы целого числа и логарифма числа, заключенного между 1 и 10. Последний логарифм сам является числом, заключенным между 0 и 1, и поэтому приближенно может быть выражен положительной десятичной дробью. Эта десятичная дробь на­зывается мантиссой, причем таблицы десятичных логарифмов и представляют собой таблицы мантисс. Показатель степени 10, который входит в стандартную форму числа, называется характеристикой. Таким образом, характеристика числа 0,002 есть – 3, характеристика 352 есть 2, а характеристика 4,32 есть 0.



В вычислениях с логарифмами принято писать отрицатель­ные характеристики в так называемой форме 9 – 10. В этой 15 форме 1g 0,002 = 7,3010 – 10. Данное выражение можно записать также в виде 1g 0,002 = ,3010, где черта над 3 означает, что характеристика равна – 3, а десятичная часть + 0,3010. Оба равенства означают, что 1g 0,002 = 0,3010 – 3 = – 2,6990.

Пример А.6. Найдем 1g 352.

Решение:

352 = 3,52 ∙ 102;

1g 352 = 1g 3,52 + 1g 102.

 

Из таблиц 1g 3,52 = 0,5464, а по определению 1g 102 = 2. Таким образом,

 

1g 352 = 2 + 0,5464 = 2,5464.

 

Пример А.7. Найдем 1g 0,002.

Решение:

 

1g 0,002 = 1g (2 ∙ 10 – 3) = 1g 2 + lg 10 – 3 = 0,3010 + (–3) = – 2,6990.

 

Пример А. 8. рН раствора представляет собой отрица­тельный десятичный логарифм [Н+], где [Н+] — активность ионов водорода (приблизительно равная концентрации ионов водорода, выраженной в г–ион/л), т.е. рН = – 1g[Н+]. Найдем, чему равен рН раствора, если [Н+] = 0,000243.

Решение:

рН = – 1g (0,000243) = – 1g (2,43 ∙ 10 – 4) = – (0,386 – 4) = 3,614.

 

Для того чтобы найти число по известному логарифму, можно использовать аналогичный подход.

Пример А. 9. Найдем [Н+], если рН = 2,602.

Решение:

 

– lg [Н+] = 2,602

1g [Н+] = – 2,602 = 0,398 – 3.

 

Из таблиц находим, что 0,398 = 1g 2,5, поэтому

 

+]=2,5 ∙ 10 – 3 = 0,0025.

 

Перед тем как обратиться к таблицам, мы выразили – 2,602 в виде суммы положительной десятичной дроби и целого числа – 3, поскольку таблицы содержат только положительные десятичные дроби.



Пример А. 10. Для того чтобы найти рН, с помощью рН – метра измеряют электрическое напряжение ξ и по формуле рН = ξ – 0,336/ 0,059 получают величину рН.

Найдем [Н+], если ξ = 0,525.

Решение:

ξ = 0,525 – 0,336/0,059 = 3,20.

 

–lg[Н+] = 3,20,

lg[Н+] = – 3,20 = 0,80 – 4,

+] = 6,3 ∙ 10-4.

 

Пример А. 11. Для того же рН – метра, что и в преды­дущем примере, определим, какое значение ξ соответство­вало бы концентрации ионов водорода 2,3 ∙ 10 – 7.

Решение:

рН = – 1g [Н+] = – 1g (2,3 ∙ 10 – 7) = – (0,3617 – 7) = –(– 6,6383) = 6,6383.

Подставляя полученное значение рН в формулу, приведен­ную в примере А. 10, находим ξ :

ξ – 0,336/0,059 = 6,638;

ξ = 0,059 ∙ 6,638 + 0,336 = 0,728.


Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 17; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.02 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты