Теорема Монжа

Если две поверхности вращения второго порядка описаны около третьей поверхности вращения второго порядка, или вписаны в неё, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Причём, плоскости кривых проходят через прямую, соединяющую точки двойного соприкосновения.

На рис. 3-50 теорема Монжа проиллюстрирована пересечением двух конусов S и Г, в которые вписана сфера Ф. Чтобы вписать сферу, проводим перпендикуляры к очерковым образующим конуса Г(Г₂) из точки О₂: О₂Р₂ = О₂К₂ - радиус сферы (рис. 3-50а). Точки М и N (рис. 3-50б) - это точки, в которых касаются все три поверхности. В результате получаются два эллипса а и b, которые проходят через точки М и N (рис. 3-50в). На П₁ эти эллипсы построены по принадлежности конусу Г (построения не показаны).

Рис. 3-50а

Рис. 3-50б

Рис. 3-50в

Как Вы думаете?

1. Всегда ли при решении позиционных задач совпадают случаи расположения геометрических фигур относительно плоскостей проекций и соответствующие алгоритмы решения?

2. По какому алгоритму Вы будете решать задачу , представленную на рис. 51?

Рис. 3-51

Ф Ç АВСК = ?

Ф ^^ П₂; АВСК ^^ П₂.

Проанализируйте расположение цилиндра и плоскости относительно плоскостей проекций и обоснуйте выбор алгоритма решения. Решите задачу.

Выводы:

1. Все главные позиционные задачи делятся на две:

1ГПЗ - пересечение линии с поверхностью (плоскостью);

2ГПЗ - пересечение поверхностей (плоскостей).

2. Выбор алгоритма решения зависит от расположения фигур относительно плоскостей проекций. Существует три случая расположения пересекающихся фигур относительно плоскостей проекций:

- обе фигуры проецирующие - задача решается по 1 алгоритму,

- одна фигура проецирующая, вторая непроецирующая - задача решается по 2 алгоритму,

- обе фигуры непроецирующие - задача решается по 3 алгоритму.

3. Бывает, что случаи расположения фигур относительно плоскостей проекций и алгоритм решения не совпадают. Это случается тогда, когда обе пересекающиеся фигуры являются проецирующими, но относительно одной и той же плоскости проекций, такие задачи решаются по второму алгоритму (например, рис. 3-51).

4. Решение считается выполненным тогда, когда определена видимость общих элементов и пересекающихся фигур.

Контрольные вопросы.

1. Какие задачи называются позиционными?

2. Какая линия может получиться при пересечении многогранника с поверхностью вращения?

3. От чего зависит количество общих элементов при решении 2ГПЗ?

4. От чего зависит выбор алгоритма решения главных позиционных задач?

5. Что может получиться при пересечении конуса различными плоскостями?

6. Какие частные случаи пересечения поверхностей вращения Вы знаете?

7. Сформулируйте теорему Монжа.