Свойства лазерных пучков

Лазерное излучение характеризуется чрезвычайно высокой степенью

монохроматичности, когерентности, направленности и яркости. К этим

свойствам можно добавить пятое, а именно — малую длительность лазерных

импульсов, которая непосредственно связана с возможностями генерации

сверхкоротких импульсов света. Это свойство менее фундаментально, но тем не менее оно является весьма важным. Рассмотрим теперь перечисленные

свойства более подробно.

Монохроматичность особенно важна для процессов лазерных

измерений, локации, связи, навигации, а также лазерной химии,

разделения изотопов, медицины, биологии и т.п., кроме того, для

создания оптических систем. Она характеризуется способностью

лазеров излучать в узком диапазоне длин волн и определяется

соотношением

M_xp = Δν /ν₀ (3.16)

где Δν — спектральная ширина контура излучения лазера, ν₀ — центральная частота контура.

Практические значения M_xp составляют от 10^–2 (эксимерный лазер) до 10^–7 (He–Ne–лазер), при этом в лабораториях достигнуты значения MX ~ 10^–14. Т.о., Mxp лазеров значительно превышает M_xp других спектральных источников.

На понятии монохроматичности основаны определения спектральной яркости лазеров:

, (3.17)

где Q /Δν — спектральная плотность энергии, Q — плотность энергии лазера, ΔΩ — величина телесного угла расходимости излучения. Очевидно, что спектральная яркость лазеров значительно превышает спектральную яркость всех других источников (включая Солнце) и т.п.

Когерентность.

В первом приближении, для любой электромагнитной волны можно

ввести две независимых характеристики когерентности, а именно: пространственную когерентность и временную когерентность. Для того чтобы определить понятие пространственной когерентности, рассмотрим две точки Р₁ и Р₂, выбранные таким образом, что в момент времени t = 0 они находятся на одном и том же волновом фронте некоторой на одном и том же волновом фронте некоторой электромагнитной волны, и пусть E₁(t) и E₂(t) — соответствующие напряженности электрического поля в этих точках. По определению, в момент времени t = О разность фаз напряженностей электрического поля в этих точках равна нулю. Если эта разность фаз остается равной нулю в любой момент времени t > 0, то говорят, что между этими двумя точками имеется полная когерентность. Если такая когерентность существует между любыми парами точек волнового фронта, то говорят, что данная волна характеризуется полной пространственной коге­рентностью. В реальности, для любой точки Р₁ все точки Р₂, фаза напря­женности поля в которых достаточно коррелирована с фазой в точке Р₁ рас­полагаются внутри некоторой конечной области вокруг этой точки Р₁. В этом случае говорят, что волна характеризуется частичной пространственной когерентностью, причем для любой точки Р можно определенным образом ввести площадь когерентности S_с(P).

Для того чтобы определить понятие временной когерентности, рассмот­рим напряженности электрического поля электромагнитной волны в данной точке Р в моменты времени t и t +τ. Если при данной задержке τ разность фаз напряженностей поля остается

постоянной в любой момент времени t, то говорят о существовании временной когерентности на интервале времени τ. Если это условие сохраняется при любом значении τ, то говорят, что волна характеризуется полной временной когерентностью. Классически электро­магнитной волной

с полной временной когерентностью является такая, на­пряженность электрического (и магнитного) поля которой может быть пред­ставлена синусоидой вида Е = E₀sin (ωt + φ), где как амплитуда Е₀, так и фа­за φ не зависят от времени. В этом случае разность фаз в моменты времени

t и t +τ, равная Δφ = [ω(t + τ) + φ - (ωt + φ)] = ωτ, действительно не зависит от времени. Если же разность фаз напряженностей поля остает­ся постоянной (в среднем) при таких задерж­ках т, что 0 < т < т₀, то говорят о частичной временной когерентности волны, с харак­терным временем

приведен на рис. 5.4. Эта волна представляет собой сину­соидальное электрическое поле со скачкооб­разными изменениями фазы через промежутки времени т₀. В этом случае при τ < τ₀ разность фаз напряженностей поля остается постоянной, т.е. рав­ной ωτ, для всех моментов времени t, кроме тех, для которых в интервале между моментами времени t и t + τ происходит скачок фазы. Напротив, если τ > τ₀, то произвольный скачок фазы в интервале между моментами време­ни t и t + τ происходит всегда, так что получаемая разность фаз будет случай­ной величиной, изменяющейся в интервале от 0 до 2π.

Можно заметить, что волна, изображенная на рис. 5.4, не является моно­хроматической. Действительно, если применить к соответствующему сигна­лу преобразование Фурье, то можно показать, что спектральная ширина этого сигнала будет составлять Δv 1 /τ₀. Таким образом, по крайней мере, в рас­смотренном случае, время когерентности равно τ_с 1 /Δv, а представление о временной когерентности, как видно, напрямую связано с понятием монороматичности.

Важно отметить, что временная и пространственная когерентности не связаны друг с другом. Действительно, можно привести примеры волн с полой пространственной и только частич­ной временной когерентностью (и нао­борот). Например, предположим, что волна,

всегда равна нулю. Таким образом, пространствен­ная когерентность между точками Р₁ и Р₂ будет полной, хотя волны, проходящие через каждую из точек, имеют лишь частичную временную когерентность. В качестве второго примера до­пустим, что волны, проходящие через точки Р₁ и Р₂, имеют все тот же вид, представленный на рис. 5.4, но при этом моменты фазовых скачков и их вели­чины абсолютно некоррелированы. Эта ситуация продемонстрирована на рис. 5.5, где построена зависимость от времени фаз φ₁(t) и φ₂(t) двух волн. По­скольку по-прежнему степень пространственной когерентности определяется разностью фаз напряженностей в двух точках в одно и то же время, то из рис. 5.5 нетрудно заметить, что эта разность является случайной величиной. Таким образом, имеет место полное отсутствие пространственной когерентно­сти между двумя рассматриваемыми точками, хотя волны и характеризуются частичной временной когерентностью.

Направленность.

Это свойство является простым следствием того, что активную среду по­мещают в резонатор. Например, в случае плоскопараллельного резонатора, изображенного на рис. 5.3, только волны, распространяющиеся в направле­нии, перпендикулярном к плоскостям зеркал (или очень близком к нему), будут оставаться в резонаторе. Для более глубокого понимания свойств на­правленности лазерного излучения (или, в общем случае, произвольной элек­тромагнитной волны) удобно отдельно рассмотреть случаи волн с полной и частичной пространственной когерентностью.

Рассмотрим вначале волну с полной пространственной когерентностью. Даже в этом случае пучок с конечной апертурой будет неизбежно расходить­ся вследствие дифракции. Эту ситуацию можно представить себе с помощью рис. 1.7, на котором изображена волна с однородным поперечным распреде­лением интенсивности и плоским волновым фронтом, падающая на экран S с круговым отверстием диаметром D. Согласно принципу Гюйгенса волно­вой фронт пучка в некоторой плоскости Р за экраном можно представить как результат суперпозиции элементарных волн (вэйвлетов), испущенных из каждой точки отверстия. Видно, что из-за конечности диаметра отверстия D пучок должен иметь конечную расходимость. Для того чтобы определить величину угла дифракции 0_d, рассмотрим вначале более простой случай, по­казанный на рис. 5.6 б, где отверстие представляет собой щель, с шириной D в плоскости рисунка и бесконечной длиной в направлении, перпендикуляр­ном к этой плоскости. Предположим также, что щель равномерно освещена. Из рисунка нетрудно заметить, что интерференция элементарных волн, ис­пущенных из точек в плоскости щели, приводит к нулевой интенсивности в направлении, определяемом таким углом 0, для которого выполняется усло­вие kl = π.

Рис. 5.6.

Физическое объяснение расходимости плоской, пространственно-когерентной, электромагнитной волны вследствие дифракции (а) на экране S с круговым отверстием диаметра D, (б) на экране S с бесконечно длинной щелью шириной D

Здесь k — это постоянная распространения волны в пространстве, связанная с длиной волны излучения λ соотношением k = 2π/λ, а l — длина отрезка ВС.Действительно, в этом случае вклады в волну в направлении Θ от вэйвлетов, испущенных из точек А и B, будут противоположны по фазе и, таким образом, будут гасить друг друга. То же самое будет происходить с вэйвлетами, испущенными из точек A₁ и В₁ на рисунке, и т. д. Поскольку l = (D/2)sinΘ (D/2)Θ, то, полагая, что угол дифракции пучка Θ_d равен уг­лу Θ, из соотношения kl = π сразу получаем, что Θ_d = λ/D.

В более сложных случаях величину угла Θ_d можно рассчитать из теории дифракции, если заданы форма отверстия и поперечное распределение ин­тенсивности волны. Обычно получают соотношение

Θ_d = βλ/D, (5.16)

где множитель β — это числовой коэффициент порядка единицы, точное значение которого зависит от формы отверстия и вида распределения интенсив­ности излучения в его плоскости. Действительно, было показано, что в рас­смотренном выше случае бесконечной щели β = 1. В качестве других приме­ров уместно упомянуть, что, как будет видно из последующих глав, β = 1,22 в случае равномерно освещенного кругового отверстия, тогда как β = 2/π для пучка неограниченного поперечного размера с гауссовым поперечным рас­пределением интенсивности. Пучок, угол расходимости которого может быть выражен соотношением (5.16), в котором β 1, называют дифракционно-ограниченным.

Если пучок имеет только частичную пространственную когерентность, то его расходимость будет больше минимальной величины, обусловленной дифракцией. Действительно, для любой точки Р' волнового фронта принцип Гюйгенса (рис. 5.6) может быть применен только к точкам, лежащим в пре­делах площади когерентности S_c вблизи Р'. Таким образом, размеры облас­ти когерентности играют роль ограничивающего отверстия для когерентной суперпозиции элементарных волн. В соответствии с соотношением (5.16) угол расходимости пучка можно при этом записать в виде

Θ= βλ[S_c]^1/2, (5.17)

где, как и прежде, β — числовой коэффициент порядка единицы, точное значение которого зависит от того, каким образом определяются как угол расходимости Θ, так и площадь когерентности S_c.

Теперь можно показать, что поскольку волны, испущенные из каждой области когерентности, некоррелированы, т. е. некогерентны, друг с дру­гом, на достаточно больших расстояниях (в так называемой дальней зоне)

необходимо суммировать не напряженности, а интенсивности полей. Для того чтобы обсудить это обстоятельство, обратимся к простой ситуации, изобра­женной на рис. 5.7, в которой предполагается, что волна представляет собой два когерентных пучка от соседствующих источников, с диаметром попереч­ного сечения D_c каждый, причем эти пучки абсолютно не когерентны друг с

Рис. 5.7. Поперечные профили пучков излучения от двух пространственно-некогерентных источников с диаметром поперечного сечения Dc на большом расстоянии L от источников

другом. Для большей определенности положим Dc = 100 мкм и λ = 1 мкм. В со­ответствии с соотношением (5.16) имеем Θd 10-2 рад, так что на

расстоянии, например, L = 100 м диаметр поперечного сечения пучка,исходящего из пер­вой области когерентности, будет равен D D_с + 2Θ_d L 2Θ_d L = 2 м. В той же плоскости диаметр поперечного сечения пучка, исходящего из второй облас­ти когерентности, будет также равен D, при этом сечения будут сдвинуты на пренебрежимо малую величину, равную D_c. Мгновенное значение интенсив­ности электромагнитного поля в произвольной точке Р рассматриваемой плоскости может быть представлено как I(P)α[(E₁(t) +E₂(t)]², где E₁(t) и E₂(t) — напряженности электрических полей, наведенных в точке Р двумя областями когерентности. Полагая, что амплитуды полей постоянны во вре­мени, перепишем это выражение в виде

I(P) = C[E₁₀sin (ωt +φ₁) +E₂₀sin (ωt +φ₂)]², (5.18)

где С — некоторая константа, Е₁₀ и Е₂₀ — амплитуды напряженности электрических полей, а φ₁ = φ₁(t) и φ₂ = φ₂(t) — соответствующие фазы (см., на­пример, рис. 5.5). Интенсивность, измеряемая любым реальным детектором, будет определяться величиной (1(Р)), которая представляет собой усреднен­ную за несколько периодов колебаний интенсивность 1(Р). Тогда получаем, что эта средняя величина равна

.

Заметим, что два фазовых члена, φ₁(t) и φ₂(t), могут быть представлены соот­ветственно в виде φ₁(t) = ψ₁(t) +kL₁ и φ₂(t) =ψ₂(t) + kL₂ , где ψ₁ и ψ₂— фазы напряженностей в рассматриваемых областях когерентности, a L₁ и L₂ — расстояния от этих областей до точки Р. Поскольку, однако, напряженности электрического поля в двух областях когерентности некоррелированы, то фазы ψ₁ и ψ₂ также некоррелированы. Таким образом, разность фаз, φ₂(t) – φ₁(t) будет величиной, случайно изменяющейся во времени, так что среднее значение , стоящее в полученном выражении, будет рав­но нулю. При этом получаем:

, т.е.

где – соответственно интенсивности электромаг­нитных волн, пришедших в точку Р из двух областей когерентности.

Согласно приведенному рассмотрению, в любой точке необходимо сум­мировать интенсивности излучений, полученных из двух областей когерент­ности. Отсюда следует, что на больших расстояниях суммарный пучок будет иметь такие же поперечные размеры, что и пучок, приходящий из одной зоны когерентности.

Таким образом, имеем: D = 2Θ_dL = 2β(λ/D_c)L. Следовательно, угол расхо­димости пучка составляет Θ = D/2L = β(λ/D_c), т. е. равен величине (5.17), если считать диаметр D_c равным квадратному корню из площади когерент­ности S_c.

В заключение общего описания свойств направленности электромагнит­ных волн следует указать, что при обеспечении определенных условий рабо­ты лазера выходящий из него пучок можно сделать полностью пространст­венно когерентным и, следовательно, дифракционно-ограниченным.

Яркость

Определим яркость данного источника электромагнитных волн как мощ­ность излучения, испускаемого с единицы поверхности источника в единич­ный телесный угол. Точнее, рассмотрим элемент dS площади поверхности источника в точке О (рис. 5.8, а). Мощность dP, излучаемую элементом поверх­ности dS в телесный угол dΩ вблизи направления ОО', можно выразить в виде

dP = BcosΘdSdΩ, (5.19)

где Θ — угол между направлением ОО' и нормалью к поверхности n.Отметим, что множитель cosΘ возникает из-за того, что физически важной величиной для мощности излучения в направлении ОО' является проекция элемента dS на плоскость, перепендикулярную направлению ОО', т. е.

cosΘdS. Величи­ну B, определенную с помощью соотношения (5.19), называют яркостью источника в точке О в направлении ОО'. Эта величина зависит, вообще гово­ря, от полярных координат Θ и φ направления ОО' и от положения точки О. Если В является

сечени­ем в виде круга диаметром D, распространяющийся вдоль заданного направ­ления (рис. 5.8, б). Вдоль этого направления яркость максимальна, а величина излучаемой при этом мощности определяется из соотношения (5.19), в кото­ром cosΘ = 1. При конечных величинах площади S и телесного угла излуче­ния Ω максимальную величину яркости можно выразить в виде В= P/SΩ. Поскольку площадь поперечного сечения пучка равна πD²/4, а телесный угол, в который происходит излучение, составляет πΘ², где Θ — угол расходимости пучка (предполагается, что расходимость мала), то в соответствии с (5.19) для максимальной яркости пучка получаем:

. (5.20)

Отметим, что если пучок дифракционно ограничен, то Θ=Θ_d , и с помощью (5.16) выражение (5.20) преобразуется к соотношению

, (5.21)

которое определяет наибольшую достижимую яркость пучка мощностью Р.

Яркость является наиболее важным параметром лазерного пучка и, вооб­ще говоря, любого источника света. Для того чтобы проиллюстрировать это утверждение, напомним вначале, что если с помощью оптической системы формируется изображение какого-либо источника света, причем и объект, и изображение находятся в одной и той же среде (например, воздухе), то справедливо следующее: яркость изображения всегда меньше или равна яркости источника, при этом равенство сохраняется только в том случае, когда в оптической системе нет потерь света, испущенного источником. Далее, пред­положим, что пучок на рис. 5.8, б, с углом расходимости, равным Θ, фокуси­руется линзой с фокусным расстоянием f. Рассчитаем интенсивность излу­чения в центре пятна в фокальной плоскости линзы (рис. 5.9, а). Напомним, что для проведения расчета пучок можно представить в виде непрерывного набора плоских волн с распределением углов падения на линзу порядка Θ вокруг направления распространения. Две такие волны, пересекающиеся под углом Θ', показаны непрерывной и пунктирной линиями на рис. 5.9, б. Каждая из волн фокусируется в пятно в определенном месте фокальной плоскости, и при малом угле Θ ' эти два пятна удалены на расстояние r = f Θ'. По­скольку ширина распределения углов падения

Рис. 5.9 (а) Распределение интенсивности в фокальной плоскости

линзы для пучка с углом расходимости Θ. (б) Разложение на плоские волны пучка,

изображенного в части (а)

плоских волн, образующих пучок на рис. 5.9, а, равна величине угла расходимости пучка Θ, то можно положить диаметр фокального пятна на рис. 5.9, а примерно равным d = 2fΘ. В случае идеальной непоглощающей линзы полная мощность излучения в фокальной плоскости равна мощности Р падающей волны. Таким образом, интенсивность излучения в центре пятна (пиковая интенсивность) достигает в фокальной плоскости величины I_p=4P/nd² = P/π(f Θ)². Переходя к яркости пучка с использованием соотношения (5.20), получаем I_p = (π/4)B(D/f)². Видно, что I_р возрастает с увеличением диаметра пучка D. Максимальная величина I_р достигается, когда D становится равен диаметру линзы D_L. При этом получаем:

I_p = π(NA)²B , (5.22)

где NA = sin[tan^-1(D_L/2f)] (D_L/2f)— числовая апертура линзы. Соотноше­ние (5.22) показывает, что при заданной числовой апертуре пиковая интенсивность в фокальной плоскости линзы определяется только яркостью пучка.

Яркость лазера даже небольшой мощности (например, около нескольких мВт) на порядки превосходит яркость обычных источников света. Прежде всего этот факт является следствием высокой направленности лазерного пучка. В соответствии с соотношением (5.22) ука­занное различие означает, что пиковая интенсивность, получаемая в фокаль­ной плоскости линзы, для лазерного пучка может быть на несколько поряд­ков выше, чем для обычных источников света. Таким образом, интенсив­ность сфокусированного лазерного излучения может достигать огромных величин, что используется во многих областях применения лазеров.

Малая длительность импульсов

Не вдаваясь пока в детали, отметим, что применяя специальную технику, которая называется синхронизацией мод, оказывается возможным гене­рировать импульсы света, длительность которых примерно равна обратной ширине линии лазерного перехода 2 → 1. Так, длительность импульса газо­вых лазеров, имеющих относительно узкие линии, может достигать ~0,1-1 нс. Такие длительности не считаются достаточно малыми, и действитель­но, даже некоторые лампы-вспышки могут излучать импульсы длительно­стью менее 1 нс. С другой стороны, ширина линии у некоторых твердотельных и жидкостных лазеров может быть в 10³-10⁵ раз больше, чем у газовых лазе­ров; в этом случае можно получать гораздо более короткие импульсы (вплоть до ~10 фс). Это открывает потрясающие новые возможности для исследова­тельских и технологических применений лазеров.

Отметим, что свойство малой длительности импульса, предполагающее концентрацию энергии во времени, можно, в некотором смысле, рассматривать как противоположное монохроматичности, предполагающей кон­центрацию энергии в спектральном интервале. Однако это свойство, возможно, следует считать менее фундаментальным, чем монохроматичность. Действительно, тогда как в принципе достаточную монохроматичность из­лучения могут обеспечивать все лазеры, только лазеры с широким спектром, а именно твердотельные и жидкостные, могут генерировать импульсы сверх­короткой длительности.