Основное уравнение кинетической теории газов

Если в предыдущем разделе применялся термодинамический метод исследования, то в этом разделе будет использован статистический метод исследования молекулярных процессов. На основании исследования совокупного действия молекул будут получены такие термодинамические параметры, как давление и температура.

Для расчетов воспользуемся моделью идеального газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории:

молекулы газа непрерывно и хаотично движутся;

молекулы взаимодействуют только во время удара;

удары молекул абсолютно упругие;

размеры молекул малы по сравнению с расстоянием между ними.

Пусть в сосуде кубической формы объемом V = l ³ , где l - длина ребра (рис. 9.2), число молекул в единице объема равно n_o . Молекулы движутся хаотично и, соударяясь со стенкой площадью S = l ², оказывают на нее давление. Результаты расчета давления на стенку не изменятся, если хаотическое движение молекул заменить направленным движением их вдоль осей x, y, z . Тогда со стенкой S будет соударяться третья часть от всех молекул, равная

(9.8)

При каждом соударении со стенкой молекула передает ей импульс, равный mv₁ - (-mv₁) = 2mv₁ , где m - масса молекулы, v₁ -ее скорость. За время Dt молекула пройдет путь v₁Dt, соударится со стенкой число раз, равное v₁Dt/2l, и передаст стенке импульс DP₁ = mv₁²Dt/l. Просуммируем импульс, переданный стенке всеми n молекулами: DP =(mDt/l)(v₁² + v₂² + ...+ v_n²). В данном выражении находится сумма квадратов скоростей. Статистическое усреднение будет заключаться в том, что мы введем новую среднюю величину - среднеквадратичную скорость - по формуле v_кв² = (v₁² + v₂² + ...+ v_n²)/n . Следует заметить, что v_кв приблизительно на 10% больше, чем средняя скорость молекулы, которая определяется по формуле: v_ср = (v₁ + v₂ + ... + v_n)/n. Используя выражение для v_кв² , получим DP = mv_кв²Dtn/l . По второму закону Ньютона на стенку будет действовать сила F = DP/Dt = mv_кв²n/l. Давление газа на стенку найдем по формуле p = F/S = F/l ² или p = mv_кв²n/l³ . Используя формулу (9.8), получим окончательно

(9.9)

Мы получили основное уравнение кинетической теории газов, которое связывает макроскопический параметр - давление газа - с микроскопическими параметрами молекул. Величина n_o(mv_кв²/2) есть кинетическая энергия молекул, заключенная в единице объема. Отсюда следует, что давление есть мера плотности кинетической энергии молекул.

Сравнивая формулы (9.9) и (9.7), получим выражение для средней кинетической энергии молекулы

(9.10)

Итак, мы пришли к важному выводу: кинетическая энергия молекул зависит только от абсолютной температуры. Отсюда следует физический смысл температуры: абсолютная температура есть мера средней энергии поступательного движения молекул.Из формулы (9.10) можно найти среднеквадратичную скорость движения молекул: v_кв² = 3kT/m = 3RT/m . Для кислорода при комнатной температуре v_кв » 480 м/с и сравнима со скоростью пули.