![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Максвелловское распределение молекул по скоростямВ результате столкновений молекулы обмениваются скоростями, а в случае тройных и более сложных столкновений молекула может иметь временно очень большие и очень малые скорости. Хаотичное движение приводит к хаотичному распределению молекул по скоростям. Это распределение можно получить, обобщив закон Больцмана. Пусть в элементе объема DxDyDz находится число молекул DN = nDxDyDz , где n - число молекул в единице объема. Подставляя n из формулы (9.15), получим DN = noexp[-Eп /(kT)]DxDyDz . Как доказывается в статистической физике, распределение Больцмана можно обобщить, построив подобно обычному пространству дополнительное пространство скоростей молекул и рассмотрев его элемент Dvx Dvy Dvz . Получим DN = A exp[-E /(kT)]DxDyDzDvxDvyDvz, (9.16) где E = mv2/2 + mgh - полная энергия молекулы; A - постоянная величина; DN - число молекул, находящихся в объеме DxDyDz, скорости которых попадают в интервал DvxDvyDvz . Считая, что в малом объеме DxDyDz энергия mgh постоянна и вводя Dn = DN/(DxDyDz) , запишем (9.16) в виде Dn = B exp[-mv2 /(2kT)] DvxDvyDvz, (9.17)
Dn = B exp[-m v2 /(2kT)] 4p v2 Dv. (9.18) Максвелл ввел специальную функцию распределения молекул по скоростям f(v) = Dn/(nDv), которая показывает, какое относительное число молекул имеет скорости в интервале от v до v + Dv . Легко видеть, что å f(v)Dvi » å Dni /n = 1. Переходя к пределу, получим
Данное выражение называют условием нормировки функции распределения. С учетом (9.18) функцию распределения можно записать в виде u2 = mv2/(2kT), (9.20) и запишем функцию распределения в виде f(v) = C exp(-u2) u2. (9.21)
Отсюда видим, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает. Кривая 2 на рис.9.5, соответствующая более высокой температуре, смещена вправо по сравнению с кривой 1. Это означает, что с повышением температуры скорости всех молекул возрастают, но характер распределения остается. Площадь, ограниченная каждой из кривых, в соответствии с условием (9.19) равна единице. Из анализа кривых на рис.9.5 видно, что относительное число молекул, скорости которых малы, невелико. Относительное число молекул, скорости которых намного больше vнв, мало. Однако всегда существует небольшое число молекул с очень большими скоростями движения. Исходя из этого, легко понять сущность процесса испарения, при котором наиболее быстрые (“горячие”) молекулы покидают жидкость, и из-за этого в целом температура ее при испарении понижается. Постоянную C в выражении (9.21) определяют, используя условие нормировки (9.19). Подставляя формулу (9.21) в выражение (9.19), получим C = 4/( С помощью Максвелловского распределения молекул по скоростям можно рассчитать среднюю скорость молекул по формуле vср = vср = Аналогично рассчитывается средняя квадратичная скорость: vкв2 = Видим, что наибольшее значение имеет средняя квадратичная скорость молекул. Примерно на 10% меньше, чем vкв, средняя скорость и на 20% меньше, чем vкв, наиболее вероятная скорость.
|