Уравнение теплопроводности в конечных разностях.

Процесс теплопроводности в материальных слоях конструкции подчиняется закону Фурье, уравнение которого в дифференциальной форме рассматривается в курсе теплопередачи. В строительной теплотехнике задачи теплопроводности часто решаются инженерными методами, в которых используется конечно-разностная форма записи этого уравнения.

Вывод уравнения теплопроводности в конечных разностях удобно проследить на примере одномерного температурного поля при передаче тепла через однородную стенку.

Стенка разбивается на элементарные слои конечного размера Δх. Принято считать, что тепловая емкость каждого элементарного слоя сосредоточена в его центре, а проводимость тепла материалом между слоями характеризуется сопротивлением теплопроводности между центрами слоев. Полученная тепловая цепочка состоит из тепловых емкостей, соединенных между собой термическими сопротивлениями.

Процесс нестационарной передачи в толще определяется двумя законами: проводимости и аккумуляции тепла. Согласно закону проводимости тепловой поток пропорционален градиенту температуры

Для участка стены между осями элементарных слоев это уравнение можно написать в виде

В уравнении принято, что температуры в центрах равны средним (интегральным) температурам по толщине элементарных слоев. Такое предположение строго справедливо только для линейного распределения температур в условиях стационарной передачи тепла.

Для нестационарных условий, учитывая криволинейное распределение температуры в слоях, уравнение является приближенным.

При переходе к тепловой цепочке уравнение проводимости между

ее узлами может быть записано в виде

где R_n-1,_n- сосредоточенное термическое сопротивление между узлами n- 1 и n; t_n-1 и t_n-температуры в узлах тепловой цепочки, где сосредоточены теплоемкости.

Уравнение для тепловой цепочки справедливо как для стационарных, так и нестационарных условий.

Закон аккумуляции тепла устанавливает, что при ращение количества тепла dQ, аккумулированного слоем dx, пропорционально приращению во времени его температуры

где ср – объемная теплоемкость материала.

Изменение количества аккумулированного тепла ΔQ для элементарного слоя толщиной Δх при изменении во времени z его средней температуры на Δ_zt равно

Для тепловой цепочки уравнение аккумуляции тепла может быть

записано в виде

где С = срΔх - сосредоточенная тепловая емкость элементарного слоя; Δ_zt -изменение во времени (z) температуры в центре элементарного слоя в сечении расположения сосредоточенной емкости.

Составим уравнение теплового баланса элементарного слоя n при распределении температур в сечении, отмеченном на рисунке tox. Слой n обменивается теплом с соседними элементарными слоями и согласно закону проводимости за время Δz он получит от слоя n + 1 количество тепла

и отдаст слою n -1 количество тепла

Разность ΔQn между количествами тепла, определенными этими уравнениями, будет аккумулирована слоем n и повысит его среднюю температуру на Δ_ztn .

Уравнение теплового баланса слоя n можно написать в виде

которое после преобразований может быть записано

где

является второй конечной разностью температур, т. е. разностью разностей температур между элементарными слоями. Индекс х показывает, что изменение температуры в пространстве происходит по координате х.

При переходе к пределу и замене конечных разностей бесконечно малыми приращениями из уравнения получаем дифференциальное уравнение Фурье

Применительно к тепловой цепочке уравнения теплопроводности в конечных

разностях

Множитель в виде комплекса величин в левой части этого уравнения является обратной величиной критерия гомохронности (Фурье) процесса, написанного для элементарного слоя Δх и расчетного интервала времени Δz. После подстановки значений этот множитель можно преобразовать и заменить обозначением критерия Фурье:

а - коэффициент температуропроводности.

Тогда уравнение теплопроводности в конечных разностях принимает вид

В этой записи уравнения критерий подобия Фурье является обобщенной пространственно-временной координатой процесса, так как его значением определяется изменение температуры и в пространстве и во времени.