Применение симплексного метода в экономических задачах

Рассмотрим применение симплексного метода на примерах экономических задач[18].

Пример. Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудование, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход ресурсов и амортизация оборудования за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства заданы в таблице (в ден. ед.).

При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3 тыс. изделий, при втором – 4 тыс. изделий.

Сколько месяцев должно работать предприятие по каждому из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?

Решение. Обозначим: х₁ – время работы предприятия по первому способу; х₂ – время работы предприятия по второму способу. Экономико-математическая модель задачи:

при ограничениях:

Приведем задачу к каноническому виду:

при ограничениях:

Составляем симплексную таблицу 1-го шага:

сi	БП
х1	х2	х3	х4	х5	bi
	x3
	x4
	x5
Dj	-3	-4

= (0, 0, 4, 3, 8), = 0.

В индексной строке D_j имеются две отрицательные оценки, значит найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве ключевого столбца следует принять столбец базисной переменной х₂, а за ключевую строку – строку переменной х₃, где min (4/2, 3/1, 8/1) = min (2, 1, 8) = 2.

Ключевым элементом является «2». Вводим в столбец БП переменную х₂, выводим х₃. Составляем симплексную таблицу 2-го шага:

сi	БП
х1	х2	х3	х4	х5	bi
	x2	1/2		1/2
	x4	1/2		-1/2
	x5	3/2		-1/2
Dj	-1

= (0, 2, 0, 1, 6), = 8.

В индексной строке имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Ключевым элементом является «1/2». Составим симплексную таблицу 3-го шага:

сi	БП
х1	х2	х3	х4	х5	bi
	x2				-1
	x1			-1
	x5				-3
Dj

Все оценки свободных переменных D_j ³ 0, следовательно, найденное опорное решение является оптимальным:

= (2, 1, 0, 0, 3), = 10.

Ответ: максимальный выпуск продукции составит 10 тыс. ед., при этом по первому способу предприятие должно работать два месяца, по второму – один месяц.