Примеры решения конструктивных задач

Пример 1 (рис. 8.12). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных параллельных прямых а и b.

Решение.

Это плоскость , проходящая через середину их общего перпендикуляра и перпендикулярно ему.

Рис. 8.12

Пример 2 (рис. 8.13). В заданной грани АВС построить ВМТ, равноудалённых от заданных точек М и К, расположенных вне плоскости (АВС).

Решение.

Это прямая m – результат пересечения плоскости (АВС) плоскостью , проходящей через середину отрезка МК перпендикулярно ему.

Рис. 8.13

Пример 3 (рис. 8.14). В плоскости (А, b) через точку А провести прямую l под углом к плоскости проекций .

Решение.

Всё множество прямых l, которые проходят через точку А под углом к плоскости , есть конус вращения , у которого A i , угол ( l ) = . Искомая прямая – одна из двух образующих l , являющихся результатом пересечения этого конуса с плоскостью (A, b).

Дано:

Решение:

Рис. 8.14

Пример 4 (рис. 8.15). Построить ВМП, проходящих через заданную точку М и касательных к заданной сфере .

Решение.

Это конус с вершиной в точке М и касательный к сфере по линии m - окружности. Оси конуса и сферы совпадают: i = i .

Рис. 8.15

Пример 5 (рис. 8.16). На прямой а определить точки, равноудалённые от заданной точки А на заданном расстоянии r .

Решение.

Это точки пересечения с прямой а окружности m радиусом r и с центром в точке А, лежащей в плоскости (А, а).

Рис. 8.16

9. Построение развёрток геометрических фигур

Развёртка – это плоская фигура, которую получают путём последовательного совмещения прямолинейных образующих развёртываемой фигуры с некоторой плоскостью.

Развёртки используют для раскроя листовых заготовок при изготовлении оболочковых изделий (химических аппаратов, ёмкостей, воздуховодов и т.п.).

9.1. Построение развёрток гранных поверхностей

Последовательность построения.

1.Определяют истинные величины всех сторон граней (для четырёхугольных граней дополнительно определяют их диагонали или высоты).

2.Используя полученные параметры граней, строят одну из них.

3.Последовательно к первой пристраивают все остальные грани.

Пример 1 (рис. 9.1). Построить развёртку пирамиды (S,ABC).

Рис. 9.1

Алгоритм построения.

1.Стороны основания пирамиды изображены на чертеже как отрезки горизонталей.

2.Рёбра SA и SC изображены на чертеже как отрезки фронталей.

3.Ребро SB определяем методом прямоугольника.

4.Развёртку начинаем с построения грани S A C . Далее пристраиваем с обеих сторон грани S A B и S C B .

Пример 2 (рис. 9.2). Построить развёртку призмы .

Рис. 9.2

Алгоритм построения.

1.Через точку С проведём секущую плоскость (1,С,2) параллельно горизонтальной плоскости проекций, т.е. перпендикулярно рёбрам. Все стороны треугольника сечения 1С2 являются высотами соответствующих граней призмы и определены на чертеже как отрезки горизонталей. Рёбра призмы тоже определены на чертеже как горизонтально проецирующие отрезки.

2.Строим грань A C C A и пристраиваем к ней последовательно все остальные грани.

9.2. Построение развёрток кривых поверхностей

Среди кривых поверхностей есть развёртываемые (у них образующие – прямые линии) и не развёртываемые поверхности (например, сфера).

Пример 1 (рис. 9.3). Построить развёртку цилиндра вращения с радиусом окружности основания r и высотой h .

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема. Её развёртка представляет собой прямоугольник высотой h и с основанием, равным длине окружности основания цилиндра (2 r).

Рис. 9.3

Пример 2 (рис. 9.4). Построить развёртку конуса вращения с радиусом окружности основания r и длиной образующей l .

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема. Развёртка конуса вращения представляет собой сегмент (вершина S) радиусом R = l и с углом при вершине сегмента = 2 r / R (рад).

Рис. 9.4

Пример 3 (рис. 9.5). Построить развёртку конуса общего вида , основание которого представляет собой горизонтально расположенную окружность m .

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема, но поскольку образующие конуса имеют переменную длину, то для построения развёртки используют приближённый метод, при котором развёртка конуса заменяется развёрткой вписанной n-гранной пирамиды.

Рис. 9.5

Пример 4 (рис. 11.6). Построить развёртку цилиндра общего вида , у которого плоскость одного основания (окружности) занимает горизонтальное положение, а плоскость другого – профильное.

Рис. 9.6

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема. Однако образующие цилиндра имеют переменную длину, поэтому развёртку строят приближенным методом, заменяя развёртку цилиндра развёрткой вписанной в цилиндр n - гранной призмы.