Кореляційно-регресійний аналіз.

Парна (однофакторна) кореляція дозволяє відносно адекватно виміряти виявлений зв’язок, чого не дають інші методи статистичного аналізу.

Кореляційний аналіз зв’язку, як правило, здійснюють після встановлення його наявності і характеру (прямий чи обернений) в процесі інших видів статистичного аналізу.

Найважливішою характеристикою кореляційного зв'язку є лінії регресії,тобто функція, котра пов'язує середні значення факторної та результативної ознаки (Х та Y). Кореляційно-регресійна модель взаємозв'язку являє собою рівняння регресії, яке у загальному вигляді записується наступним чином:

,

де у_х – теоретичні значення Y;

- лінія регресії;

- залишкова компонента.

У парному кореляційно-регресійному аналізі переважно використовуються наступні функції (рівняння регресії):

лінійна

параболічна

кубічна

степенева

гіперболічна .

На першому етапі доцільно застосувати графічний метод для формування гіпотези про наявність саме лінійного взаємозв'язку між ознаками.

На другому етапі визначаються параметри рівняння регресії:

.

Для цього використовується метод найменших квадратів та розв'язується система рівнянь відносно а₀ і а₁ :

З наведеної системи параметри рівняння регресії розраховуються різними способами, в тому числі за формулами:

Параметри а₀ і а₁ мають певний економічний зміст, зокрема, а₁ називається коефіцієнтом регресії,що показує, на скільки одиниць змінюється Y при збільшенні Х на одну одиницю. Якщо цей коефіцієнт додатний – зв'язок прямий, а якщо від'ємний – зв'язок між показниками обернений.

На третьому етапі за одержаним рівнянням регресії розраховуються теоретичні значення результативної ознаки Y_х та показники рівня апроксимації (наближення), які показують розбіжність між фактичними і теоретичними значеннями Y :

- середня квадратична (стандартна) помилка:

(11)

- коефіцієнт апроксимації:

. (12)

Чим меншими є значення S та V, тим краще рівняння регресії описує (апроксимує) взаємозв'язок між Х та Y .

На четвертому етапі оцінюється тіснота зв'язку за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції (r):

. (13)

Значення коефіцієнта кореляції r знаходиться в межах від -1 до +1. При r>0 зв'язок між показниками прямий, а при r<0 – обернений. Якщо : вважається, що зв'язок між Х та Y практично відсутній; - зв'язок слабкий; - зв'язок середній; - зв'язок сильний; - зв'язок дуже сильний.

Коефіцієнт детермінації D=r² показує, на скільки відсотків варіація Y обумовлюється варіацією Х.

Часто також визначається коефіцієнт еластичності (Е) за формулою:

Е= . (14)

Цей коефіцієнт показує, на скільки процентів змінюється Y при збільшенні Х на 1%.

На п'ятому етапі здійснюється перевірка суттєвості (невипадковості) взаємозв'язку між показниками за допомогою F-критерія Фішера:

F= , (15)

де К₁=m-1; K₂=n-m; n – кількість одиниць у сукупності; m - кількість параметрів у рівнянні регресії.

Як відомо, більшість соціально-економічних показників формується під впливом не одного, а багатьох факторів. Метод побудови моделі такого зв'язку має назву багатофакторного кореляційно-регресійного аналізу. В цьому випадку результативна ознака (Y ) пов'язується з допомогою рівняння множинної регресії з двома або більше факторними ознаками (Х₁, Х₂, Х₃, . . . , Х_m).

Найважливішими умовами побудови багатофакторної моделі зв'язку є достатня кількість одиниць у сукупності ( як мінімум у 8 разів більше, ніж число факторів) та відсутність мультиколінеарності факторів (близького до функціонального зв'язку між ними). В тому випадку, якщо два факторних показники мультиколінеарні, один з них повинен бути виключений з моделі.

На практиці використовуються два види рівнянь множинної регресії:

- лінійне (адитивне):

(16)

- нелінійне (мультиплікативне):

, (17)

де а₀, а₁, а₂, ... , а_m – параметри рівняння множинної регресії;

Х₁, Х₂,Х₃,. . ., Х_m - факторні ознаки.

Оцінка параметрів рівняння множинної регресії здійснюється методом найменших квадратів. Параметри а₁, а₂ , . . . , а_m називаються коефіцієнтами регресії та показують, на скільки одиниць змінюється у при збільшенні х на одиницю, при умові, що інші фактори є сталими. Наприклад, рівняння залежності ціни (Y) від рівня продуктивності праці (X₁) та якості сировини (X₂):

У_х = 10,2+12,6х₁+0,7 х₂ .

Для вимірювання тісноти взаємозв'язку між двома ознаками, що включені у модель, визначають парні коефіцієнти кореляції (r_yx1, r_yx2, r_x1x2). Тісноту зв'язку між результативною ознакою (Y) та факторною (при спільному впливі всіх факторів) характеризують часткові коефіцієнти кореляції (R_yx1, R_yx2).

Тісноту взаємозв'язку між результативною ознакою та сукупністю всіх факторних ознак визначають на основі коефіцієнта множинної кореляції R. Величина D = R² називається коефіцієнтом детермінації, що показує, на скільки процентів варіація Y обумовлюється варіацією всіх факторних ознак, включених у модель.